Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 14, 33, 35, 16, 11, 16.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 10. Welk deel P van de waarden ligt onder 185?

μ = 170σ = 10x = 185

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 2 personen kiezen uit een groep van 9? De volgorde doet er niet toe.

n = 9k = 2

N =

4.KansrekeningMoeilijk

Een spel kost €2 inzet. Je wint €4 met kans 0,1 en €40 met kans 0,01; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €2€4: p = 0,1€40: p = 0,01

E(G) = €

5.Normale verdelingGemiddeld

X is normaal verdeeld met gemiddelde 60 s en standaardafwijking 5 s; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 45 s en standaardafwijking 4 s. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 117,8 s. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 117,8 s

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Bereken de waarde x waaronder 99% ervan ligt (het 99e percentiel).

μ = 500σ = 40P = 99%

x = h

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 40 telefoons, gemiddelde 58,5 h, bekende standaardafwijking 13 h. Model 2: 40 telefoons, gemiddelde 71 h, bekende standaardafwijking 7 h. Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 58,5 hσ₁ = 13 hn₂ = 40x̄₂ = 71 hσ₂ = 7 h99%

bovengrens = h

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 36. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 0,5 heeft?

σ = 36E = 0,599%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 80 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 54 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 18 mm. Lijn 2: een steekproef van 30 onderdelen heeft gemiddelde 58,8 mm, bekende standaardafwijking 17 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).

n₁ = 80x̄₁ = 54 mmσ₁ = 18 mmn₂ = 30x̄₂ = 58,8 mmσ₂ = 17 mm

z =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 100 metingen heeft gemiddelde 199,1. De standaardafwijking van de populatie is 4. Bereken de ondergrens L van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 199,1σ = 4n = 10090%

L =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 6

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (3,5, 39) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 39)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 10,38

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 125/6 = 20,83

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−6,833)² + 12,17² + 14,17² + (−4,833)² + (−9,833)² + (−4,833)² = 538,8

Standaardafwijking

s = √(538,8/5) = 10,38

Antwoord

s = 10,38

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,9332

Standaardiseren

z = 1,5

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Antwoord

P = 0,9332

3.Kansrekening

Antwoord: N = 36

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(9, 2) = (9·8)/(2·1) = 36

Antwoord

N = 36

4.Kansrekening

Antwoord: E(G) = −1,2 €

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Netto-uitkomsten

G: 2 (p = 0,1), 38 (p = 0,01), −2 (p = 0,89)

Verwachtingswaarde

E(G) = 2·0,1 + 38·0,01 − 2·0,89 = −1,2 €

Antwoord

E(G) = −1,2 €

Een negatieve waarde betekent dat je gemiddeld geld verliest.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,02275

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van de som

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standaardiseren

z = (117,8 − 105)/6,403 = 2

Rechterstaart

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Antwoord

P = 0,02275

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 593,1 h

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Terug naar x

x = 500 + 2,326·40 = 593,05 h

Antwoord

x = 593,05 h

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = −6,486 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 58,5 − 71 = −12,5

Standaardfout

SE = √(13²/40 + 7²/40) = 2,335

Foutmarge

E = 2,576·2,335 = 6,014

Interval

−12,5 ± 6,014 → [−18,51, −6,486]

Antwoord

bovengrens = −6,486 h

Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 34400

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (2,576·36/0,5)² = 34400

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 34400

Antwoord

n = 34400

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = −1,298

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standaardfout van het verschil

SE = √(18²/80 + 17²/30) = √13,68 = 3,699

Toetsingsgrootheid

z = (54 − 58,8)/3,699 = −1,298

Antwoord

z = −1,298

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: L = 198,4

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Foutmarge

E = 1,645·4/√100 = 0,658

Intervalgrens

L = 199,1 − 0,658 = 198,4

Antwoord

L = 198,4

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,971

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 568/6 = 94,67

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 412

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2497

Determinatiecoëfficiënt

r² = 412²/(70·2497) = 0,971

Antwoord

r² = 0,971

Ongeveer 97,1% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 3

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 173/5 = 34,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 28

Regressielijn

b = 28/10 = 2,8

a = 34,6 − 2,8·3 = 26,2

ŷ = 26,2 + 2,8·x

Voorspelde waarde

ŷ = 26,2 + 2,8·3,5 = 36

Residu

e = 39 − 36 = 3

Antwoord

e = 3

Het punt ligt boven de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1