Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 46, 15, 19, 39, 25.

n = 5

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 15. Welk deel P van de waarden ligt boven 48?

μ = 60σ = 15x = 48

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Een zak bevat 6 rode en 9 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?

6 / 9

P =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 9 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,25. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 9p = 0,25

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

De massa's van passagiers met bagage zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 85 kg en standaardafwijking 12 kg. Bepaal de kans P dat de totale massa van 16 ervan groter is dan 1456 kg. Rond z af op twee decimalen.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 16> 1456 kg

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Bereken de waarde x waaronder 80% ervan ligt (het 80e percentiel).

μ = 32σ = 6P = 80%

x = min

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 30 items heeft gemiddelde 84,5 en standaardafwijking s = 14. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 30x̄ = 84,5s = 1495%t(29) = 2,045

E =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 5 proefvelden, gemiddelde opbrengst 82,5 kg, standaardafwijking 3,5 kg. Groep 2: 7 proefvelden, gemiddelde 74 kg, standaardafwijking 9 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 82,5s₁ = 3,5n₂ = 7x̄₂ = 74s₂ = 990%t(10) = 1,812

ondergrens = kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 49 studenten heeft een gemiddelde score van 49,36 en een steekproefstandaardafwijking van 5. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 49,36s = 5n = 49

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft? De standaardafwijking is 5. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 5E = 395%

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 6

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 12.

n = 6x = 12

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 13,24

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 144/5 = 28,8

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 17,2² + (−13,8)² + (−9,8)² + 10,2² + (−3,8)² = 700,8

Standaardafwijking

s = √(700,8/4) = 13,24

Antwoord

s = 13,24

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,7881

Standaardiseren

z = −0,8

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Antwoord

P = 0,7881

3.Kansrekening

Antwoord: P = 0,1429

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Eerste en tweede trekking

P = 6/15 · 5/14 = 30/210 = 0,1429

Antwoord

P = 0,1429

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,3003

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,75⁹ = 0,07508

P(X = 1) = 9·0,25·0,75⁸ = 0,2253

Tel ze op

P = 0,07508 + 0,2253 = 0,3003

Antwoord

P = 0,3003

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,02275

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het totaal

μ_T = 1360 kg, σ_T = 12·√16 = 48 kg

Standaardiseren

z = (1456 − 1360)/48 = 2

Kansrekening

P = 1 − Φ(2) = 0,02275

Antwoord

P = 0,02275

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 37,05 min

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Terug naar x

x = 32 + 0,8416·6 = 37,05 min

Antwoord

x = 37,05 min

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 5,227

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 29, t = 2,045

Foutmarge

E = 2,045·14/√30 = 5,227

Antwoord

E = 5,227

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 0,7395 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (4·3,5² + 6·9²)/10 = 53,5

s_p = 7,314

Foutmarge

E = 1,812·7,314·√(1/5 + 1/7) = 7,761

Interval

8,5 ± 7,761 → [0,7395, 16,26]

Antwoord

ondergrens = 0,7395 kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −0,896

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143

Toetsingsgrootheid

t = (49,36 − 50)/0,7143 = −0,896

Antwoord

t = −0,896

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 11

n oplossen

n = (1,96·5/3)² = 10,67

Naar boven afronden

n = 11

Antwoord

n = 11

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9974

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 595/6 = 99,17

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 465

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3097

Determinatiecoëfficiënt

r² = 465²/(70·3097) = 0,9974

Antwoord

r² = 0,9974

Ongeveer 99,74% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 72,12

Gemiddelden

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 334/6 = 55,67

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 288

Regressielijn

b = 288/70 = 4,114

a = 55,67 − 4,114·8 = 22,75

ŷ = 22,75 + 4,114·x

Voorspelling

ŷ = 22,75 + 4,114·12 = 72,12

Antwoord

ŷ = 72,12

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1