Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 51, 31, 29, 11, 24.

n = 5

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 8. Bereken de z-score z van een score van 178.

μ = 170σ = 8x = 178

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,3, 0,3, 0,25

σ =

4.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 7 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,2. Wat is de kans P op precies 2 goede antwoorden?

n = 7p = 0,2k = 2

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,2812 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,2812

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 20% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 65 puntenσ = 10 punten20%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 6 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde −5,7 en standaardafwijking 4,7. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 6d̄ = −5,7s_d = 4,790%t(5) = 2,015

ondergrens = mmHg

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De diameters van 15 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 4,5 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de bovengrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 14 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 5,629 en 2,5% boven 26,119.

n = 15s = 4,5 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 5 studenten, gemiddelde score 106,5, standaardafwijking 2. Groep 2: 12 studenten, gemiddelde score 95,4, standaardafwijking 10,5. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).

n₁ = 5x̄₁ = 106,5s₁ = 2n₂ = 12x̄₂ = 95,4s₂ = 10,5

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft? De standaardafwijking is 8. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 8E = 199%

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6Σx = 36Σy = 500Σx² = 286Σy² = 44868Σxy = 3468

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (4, 42) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(4, 42)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 14,46

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 146/5 = 29,2

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 21,8² + 1,8² + (−0,2)² + (−18,2)² + (−5,2)² = 836,8

Standaardafwijking

s = √(836,8/4) = 14,46

Antwoord

s = 14,46

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 1

Standaardiseren

z = (178 − 170)/8 = 1

Antwoord

z = 1

3.Kansrekening

Antwoord: σ = 2,027

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,15 + 2·0,3 + 4·0,3 + 6·0,25 = 3,3

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,15 + 4·0,3 + 16·0,3 + 36·0,25 = 15

Variantie

Var(X) = 15 − 3,3² = 4,11

σ = √4,11 = 2,027

Antwoord

σ = 2,027

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,2753

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binomiale formule

P(X = 2) = 21·0,2²·0,8⁵ = 21·0,04·0,3277 = 0,2753

Antwoord

P = 0,2753

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 0,36

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = (1 + 0,2812)/2 = 0,6406

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,6406 in de tabel en lees z af.

z = 0,36

Antwoord

z = 0,36

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 73,4 punten

Oppervlak links

Φ(z) = 0,8

z uit de tabel

z ≈ 0,84

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 65 + 0,84·10 = 73,4 punten

Antwoord

x = 73,4 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = −9,566 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 5, t = 2,015

Foutmarge

E = 2,015·4,7/√6 = 3,866

Interval

−5,7 ± 3,866 → [−9,566, −1,834]

Antwoord

ondergrens = −9,566 mmHg

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: σ = 7,097 µm

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 14·4,5² = 283,5

Grenzen voor σ²

283,5/26,119 = 10,85

283,5/5,629 = 50,36

Grens voor σ

σ = √50,36 = 7,097 µm

Antwoord

σ = 7,097 µm

95%-interval voor σ: [3,295, 7,097] µm.

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 2,304

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolde variantie

s_p² = (4·2² + 11·10,5²)/15 = 81,92

s_p = 9,051

Standaardfout

SE = 9,051·√(1/5 + 1/12) = 4,818

Toetsingsgrootheid

t = (106,5 − 95,4)/4,818 = 2,304

Antwoord

t = 2,304

Bij df = 15 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,131; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 425

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

n oplossen

n = (2,576·8/1)² = 424,7

Naar boven afronden

n = 425

Antwoord

n = 425

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9886

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 3468 − 36·500/6 = 468

S_xx = 286 − 36²/6 = 70

S_yy = 44868 − 500²/6 = 3201

Correlatiecoëfficiënt

r = 468/√(70·3201) = 0,9886

Antwoord

r = 0,9886

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 4

Gemiddelden

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 241/5 = 48,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 136

Regressielijn

b = 136/40 = 3,4

a = 48,2 − 3,4·7 = 24,4

ŷ = 24,4 + 3,4·x

Voorspelde waarde

ŷ = 24,4 + 3,4·4 = 38

Residu

e = 42 − 38 = 4

Antwoord

e = 4

Het punt ligt boven de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1