Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 19, 22, 42, 52, 55, 50, 42.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt onder 75?

μ = 50σ = 20x = 75

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,25, 0,35, 0,1

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 7 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,7. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 7p = 0,7

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Welk deel ligt tussen 60 en 70 punten? Geef P als decimaal getal.

μ = 65σ = 10x₁ = 60x₂ = 70

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 30% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 178 cmσ = 7 cm30%

x = cm

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 50 telefoons, gemiddelde 143 h, bekende standaardafwijking 14 h. Model 2: 50 telefoons, gemiddelde 141,5 h, bekende standaardafwijking 12 h. Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 143 hσ₁ = 14 hn₂ = 50x̄₂ = 141,5 hσ₂ = 12 h99%

bovengrens = h

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 32. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft?

σ = 32E = 199%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

12 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is −4,46 en de standaardafwijking van de verschillen is 10,3. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μ_d = 0.

n = 12d̄ = −4,46s_d = 10,3

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,05 moet een verschuiving van het gemiddelde van 4 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 80 %. De standaardafwijking is 25. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,05onderscheidend vermogen = 80%δ = 4σ = 25z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (9, 18) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(9, 18)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 14,38

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 282/7 = 40,29

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−21,29)² + (−18,29)² + 1,714² + 11,71² + 14,71² + 9,714² + 1,714² = 1241

Standaardafwijking

s = √(1241/6) = 14,38

Antwoord

s = 14,38

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,8944

Standaardiseren

z = 1,25

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Antwoord

P = 0,8944

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 0,9875

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,3 + 1·0,25 + 2·0,35 + 3·0,1 = 1,25

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,25 + 4·0,35 + 9·0,1 = 2,55

Variantie

Var(X) = 2,55 − 1,25² = 0,9875

Antwoord

Var(X) = 0,9875

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,003791

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,3⁷ = 0,0002187

P(X = 1) = 7·0,7·0,3⁶ = 0,003572

Tel ze op

P = 0,0002187 + 0,003572 = 0,003791

Antwoord

P = 0,003791

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,3829

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (60 − 65)/10 = −0,5

z₂ = (70 − 65)/10 = 0,5

Oppervlakte ertussen

P = Φ(0,5) − Φ(−0,5) = 0,6915 − 0,3085 = 0,3829

Antwoord

P = 0,3829

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 174,4 cm

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,3

z uit de tabel

z ≈ −0,52

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 178 − 0,52·7 = 174,4 cm

Antwoord

x = 174,4 cm

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 8,217 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 143 − 141,5 = 1,5

Standaardfout

SE = √(14²/50 + 12²/50) = 2,608

Foutmarge

E = 2,576·2,608 = 6,717

Interval

1,5 ± 6,717 → [−5,217, 8,217]

Antwoord

bovengrens = 8,217 h

Het interval bevat 0, dus de data laten geen significant verschil zien.

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 6796

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (2,576·32/1)² = 6795

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 6796

Antwoord

n = 6796

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −1,5

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 10,3/√12 = 2,973

Toetsingsgrootheid

t = −4,46/2,973 = −1,5

Antwoord

t = −1,5

Bij df = 11 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,201; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 242

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((1,645 + 0,842)·25/4)² = 241,6

Naar boven afronden

n = 242

Antwoord

n = 242

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = −0,9873

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 80/6 = 13,33

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −55

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 177,3

Correlatiecoëfficiënt

r = −55/√(17,5·177,3) = −0,9873

Antwoord

r = −0,9873

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −2,75

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 79/5 = 15,8

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 66

Regressielijn

b = 66/40 = 1,65

a = 15,8 − 1,65·6 = 5,9

ŷ = 5,9 + 1,65·x

Voorspelde waarde

ŷ = 5,9 + 1,65·9 = 20,75

Residu

e = 18 − 20,75 = −2,75

Antwoord

e = −2,75

Het punt ligt onder de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1