Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 30, 11, 34, 22, 52, 39.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 15. Bereken de z-score z van een score van 70.

μ = 100σ = 15x = 70

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,15, 0,15, 0,35, 0,25

σ =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 11 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,6. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 11p = 0,6

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

De massa's van dozen zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 12 kg en standaardafwijking 0,8 kg. Bepaal de kans P dat de totale massa van 4 ervan groter is dan 50,4 kg. Rond z af op twee decimalen.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 4> 50,4 kg

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,02 mm en standaardafwijking 0,01 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,01 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.

gat: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 16 items heeft gemiddelde 44,5 en standaardafwijking s = 9. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 16x̄ = 44,5s = 995%t(15) = 2,131

ondergrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 18. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2 heeft?

σ = 18E = 299%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 49 studenten heeft een gemiddelde score van 503,4 en een steekproefstandaardafwijking van 10. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 503,4s = 10n = 49

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

In een onderzoek herstellen 45 van de 300 patiënten met behandeling A en 22 van de 100 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 45n₁ = 300x₂ = 22n₂ = 100

z =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 20Σy = 295Σx² = 90Σy² = 17495Σxy = 1203

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 3.

n = 5x = 3

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 14,11

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 188/6 = 31,33

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−1,333)² + (−20,33)² + 2,667² + (−9,333)² + 20,67² + 7,667² = 995,3

Standaardafwijking

s = √(995,3/5) = 14,11

Antwoord

s = 14,11

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = −2

Standaardiseren

z = (70 − 100)/15 = −2

Antwoord

z = −2

3.Kansrekening

Antwoord: σ = 1,285

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 1·0,1 + 2·0,15 + 3·0,15 + 4·0,35 + 5·0,25 = 3,5

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,15 + 9·0,15 + 16·0,35 + 25·0,25 = 13,9

Variantie

Var(X) = 13,9 − 3,5² = 1,65

σ = √1,65 = 1,285

Antwoord

σ = 1,285

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,000734

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,4¹¹ = 4,194 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 11·0,6·0,4¹⁰ = 0,0006921

Tel ze op

P = 4,194 × 10⁻⁵ + 0,0006921 = 0,000734

Antwoord

P = 0,000734

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,06681

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het totaal

μ_T = 48 kg, σ_T = 0,8·√4 = 1,6 kg

Standaardiseren

z = (50,4 − 48)/1,6 = 1,5

Kansrekening

P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681

Antwoord

P = 0,06681

6.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,9207

Verdeling van het verschil

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01414 mm

Standaardiseren

z = (0 − 0,02)/0,01414 = −1,41

Kansrekening

P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207

Antwoord

P = 0,9207

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 39,71

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Foutmarge

E = 2,131·9/√16 = 4,795

Interval

44,5 ± 4,795 → [39,71, 49,29]

Antwoord

ondergrens = 39,71

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 538

n oplossen

n = (2,576·18/2)² = 537,5

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 538

Antwoord

n = 538

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 2,38

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 10/√49 = 10/7 = 1,429

Toetsingsgrootheid

t = (503,4 − 500)/1,429 = 2,38

Antwoord

t = 2,38

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = −1,623

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Steekproeffracties

p̂₁ = 45/300 = 0,15

p̂₂ = 22/100 = 0,22

p̂ = 67/400 = 0,1675

Standaardfout onder H₀

SE = √(0,1675·0,8325·(1/300 + 1/100)) = 0,04312

Toetsingsgrootheid

z = (0,15 − 0,22)/0,04312 = −1,623

Antwoord

z = −1,623

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,7667

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 1203 − 20·295/5 = 23

S_xx = 90 − 20²/5 = 10

S_yy = 17495 − 295²/5 = 90

Correlatiecoëfficiënt

r = 23/√(10·90) = 0,7667

Antwoord

r = 0,7667

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 14,7

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 123/5 = 24,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 132

Regressielijn

b = 132/40 = 3,3

a = 24,6 − 3,3·6 = 4,8

ŷ = 4,8 + 3,3·x

Voorspelling

ŷ = 4,8 + 3,3·3 = 14,7

Antwoord

ŷ = 14,7

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1