Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 29, 22, 13, 27, 19.

n = 5

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 10. Welk deel P van de waarden ligt onder 80?

μ = 100σ = 10x = 80

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 4 personen kiezen uit een groep van 8? De volgorde doet er niet toe.

n = 8k = 4

N =

4.KansrekeningMoeilijk

Een spel kost €2 inzet. Je wint €6 met kans 0,3 en €100 met kans 0,01; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €2€6: p = 0,3€100: p = 0,01

E(G) = €

5.Normale verdelingGemiddeld

De massa's van bouten zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 40 g en standaardafwijking 1,2 g. Bepaal de kans P dat de totale massa van 5 ervan groter is dan 202,7 g. Rond z af op twee decimalen.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 5> 202,7 g

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,03 mm en standaardafwijking 0,015 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,015 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.

gat: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 36 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 7,3. Wat is de foutmarge E₂ van een 90%-interval uit dezelfde data?

95%n₁ = 36E₁ = 7,390%

E₂ =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 11 proefvelden, gemiddelde opbrengst 28,5 kg, standaardafwijking 4 kg. Groep 2: 11 proefvelden, gemiddelde 36 kg, standaardafwijking 9,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 11x̄₁ = 28,5s₁ = 4n₂ = 11x̄₂ = 36s₂ = 9,590%t(20) = 1,725

ondergrens = kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 64 studenten heeft een gemiddelde score van 76,5 en een steekproefstandaardafwijking van 5. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 76,5s = 5n = 64

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft? De standaardafwijking is 5. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 5E = 390%

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6Σx = 21Σy = 273Σx² = 91Σy² = 12565Σxy = 999

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 17.

n = 6x = 17

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 6,403

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 110/5 = 22

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 7² + 0² + (−9)² + 5² + (−3)² = 164

Standaardafwijking

s = √(164/4) = 6,403

Antwoord

s = 6,403

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,02275

Standaardiseren

z = −2

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Antwoord

P = 0,02275

3.Kansrekening

Antwoord: N = 70

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(8, 4) = (8·7·6·5)/(4·3·2·1) = 70

Antwoord

N = 70

4.Kansrekening

Antwoord: E(G) = 0,8 €

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Netto-uitkomsten

G: 4 (p = 0,3), 98 (p = 0,01), −2 (p = 0,69)

Verwachtingswaarde

E(G) = 4·0,3 + 98·0,01 − 2·0,69 = 0,8 €

Antwoord

E(G) = 0,8 €

Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,1562

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het totaal

μ_T = 200 g, σ_T = 1,2·√5 = 2,683 g

Standaardiseren

z = (202,7 − 200)/2,683 = 1,01

Kansrekening

P = 1 − Φ(1,01) = 0,1562

Antwoord

P = 0,1562

6.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,9207

Verdeling van het verschil

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02121 mm

Standaardiseren

z = (0 − 0,03)/0,02121 = −1,41

Kansrekening

P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207

Antwoord

P = 0,9207

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E₂ = 6,127

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Verhouding van de marges

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(36/36) = 0,8393

Nieuwe marge

E₂ = 7,3·0,8393 = 6,127

Antwoord

E₂ = 6,127

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = −12,86 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (10·4² + 10·9,5²)/20 = 53,13

s_p = 7,289

Foutmarge

E = 1,725·7,289·√(1/11 + 1/11) = 5,361

Interval

−7,5 ± 5,361 → [−12,86, −2,139]

Antwoord

ondergrens = −12,86 kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 2,4

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625

Toetsingsgrootheid

t = (76,5 − 75)/0,625 = 2,4

Antwoord

t = 2,4

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 8

n oplossen

n = (1,645·5/3)² = 7,517

Naar boven afronden

n = 8

Antwoord

n = 8

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,868

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 999 − 21·273/6 = 43,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 12565 − 273²/6 = 143,5

Correlatiecoëfficiënt

r = 43,5/√(17,5·143,5) = 0,868

Antwoord

r = 0,868

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 46,33

Gemiddelden

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 321/6 = 53,5

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 251

Regressielijn

b = 251/70 = 3,586

a = 53,5 − 3,586·19 = −14,63

ŷ = −14,63 + 3,586·x

Voorspelling

ŷ = −14,63 + 3,586·17 = 46,33

Antwoord

ŷ = 46,33

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1