Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 13, 13, 19, 16, 41, 21, 21.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 15. Bereken de z-score z van een score van 77,5.

μ = 100σ = 15x = 77,5

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Er wordt 7 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?

n = 7

P =

4.KansrekeningMoeilijk

Een spel kost €10 inzet. Je wint €20 met kans 0,15 en €200 met kans 0,01; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €10€20: p = 0,15€200: p = 0,01

E(G) = €

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,9881 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,9881

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 25% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 65 puntenσ = 10 punten25%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 9 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 5,4 en standaardafwijking 7,6. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 9d̄ = 5,4s_d = 7,690%t(8) = 1,86

ondergrens = mmHg

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De diameters van 21 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 11,9 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 20 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 9,591 en 2,5% boven 34,17.

n = 21s = 11,9 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 100 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 12. Een aselecte steekproef van 36 waarnemingen heeft een gemiddelde van 102,72. Toets H₀: μ = 100 tegen H₁: μ > 100. Bereken de p-waarde p.

μ₀ = 100σ = 12n = 36x̄ = 102,72H₁: μ > μ₀

p =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 36 metingen heeft gemiddelde 99,3. De standaardafwijking van de populatie is 15. Bereken de bovengrens U van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 99,3σ = 15n = 3699%

U =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 5

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (5,5, 10) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(5,5, 10)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 9,624

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 144/7 = 20,57

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−7,571)² + (−7,571)² + (−1,571)² + (−4,571)² + 20,43² + 0,4286² + 0,4286² = 555,7

Standaardafwijking

s = √(555,7/6) = 9,624

Antwoord

s = 9,624

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = −1,5

Standaardiseren

z = (77,5 − 100)/15 = −1,5

Antwoord

z = −1,5

3.Kansrekening

Antwoord: P = 0,7209

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complement

P(geen zes) = (5/6)⁷ = 0,2791

P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Antwoord

P = 0,7209

4.Kansrekening

Antwoord: E(G) = −5 €

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Netto-uitkomsten

G: 10 (p = 0,15), 190 (p = 0,01), −10 (p = 0,84)

Verwachtingswaarde

E(G) = 10·0,15 + 190·0,01 − 10·0,84 = −5 €

Antwoord

E(G) = −5 €

Een negatieve waarde betekent dat je gemiddeld geld verliest.

5.Normale verdeling

Antwoord: z = −2,26

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,9881 = 0,0119

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,0119 in de tabel en lees z af.

z = −2,26

Antwoord

z = −2,26

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 71,7 punten

Oppervlak links

Φ(z) = 0,75

z uit de tabel

z ≈ 0,67

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 65 + 0,67·10 = 71,7 punten

Antwoord

x = 71,7 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 0,688 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 8, t = 1,86

Foutmarge

E = 1,86·7,6/√9 = 4,712

Interval

5,4 ± 4,712 → [0,688, 10,11]

Antwoord

ondergrens = 0,688 mmHg

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: σ = 9,104 µm

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 20·11,9² = 2832

Grenzen voor σ²

2832/34,17 = 82,89

2832/9,591 = 295,3

Grens voor σ

σ = √82,89 = 9,104 µm

Antwoord

σ = 9,104 µm

95%-interval voor σ: [9,104, 17,18] µm.

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: p = 0,08692

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Toetsingsgrootheid

SE = σ/√n = 12/√36 = 2

z = (102,72 − 100)/2 = 1,36

Staartoppervlakte

Φ(1,36) = 0,9131

1 − Φ(1,36) = 0,0869

p-waarde

p = 0,08692

Antwoord

p = 0,08692

p > 0,05, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: U = 105,7

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Foutmarge

E = 2,576·15/√36 = 6,44

Intervalgrens

U = 99,3 + 6,44 = 105,7

Antwoord

U = 105,7

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,7575

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 281/5 = 56,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 39

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 200,8

Determinatiecoëfficiënt

r² = 39²/(10·200,8) = 0,7575

Antwoord

r² = 0,7575

Ongeveer 75,75% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −2,743

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 108/6 = 18

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −46

Regressielijn

b = −46/17,5 = −2,629

a = 18 − (−2,629)·3,5 = 27,2

ŷ = 27,2 − 2,629·x

Voorspelde waarde

ŷ = 27,2 + (−2,629)·5,5 = 12,74

Residu

e = 10 − 12,74 = −2,743

Antwoord

e = −2,743

Het punt ligt onder de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1