Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 55, 10, 56, 31, 42, 41, 17.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 50. Bereken de z-score z van een score van 600.

μ = 500σ = 50x = 600

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Een zak bevat 4 rode en 5 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?

4 / 5

P =

4.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 10 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,7. Wat is de kans P op precies 5 goede antwoorden?

n = 10p = 0,7k = 5

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Welk deel ligt tussen 53 en 77,5 punten? Geef P als decimaal getal.

μ = 65σ = 10x₁ = 53x₂ = 77,5

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 40% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 250 gσ = 5 g40%

x = g

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 30 items heeft gemiddelde 111,5 en standaardafwijking s = 10,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 30x̄ = 111,5s = 10,595%t(29) = 2,045

ondergrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Over de fractie defecte producten is vooraf niets bekend. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,04 heeft?

p = 0,5E = 0,0490%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 15 studenten, gemiddelde score 20, standaardafwijking 7,5. Groep 2: 6 studenten, gemiddelde score 17, standaardafwijking 5. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).

n₁ = 15x̄₁ = 20s₁ = 7,5n₂ = 6x̄₂ = 17s₂ = 5

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft? De standaardafwijking is 8. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 8E = 390%

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 5

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (3,5, 14) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 14)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 17,72

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 252/7 = 36

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 19² + (−26)² + 20² + (−5)² + 6² + 5² + (−19)² = 1884

Standaardafwijking

s = √(1884/6) = 17,72

Antwoord

s = 17,72

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 2

Standaardiseren

z = (600 − 500)/50 = 2

Antwoord

z = 2

3.Kansrekening

Antwoord: P = 0,1667

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Eerste en tweede trekking

P = 4/9 · 3/8 = 12/72 = 0,1667

Antwoord

P = 0,1667

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,1029

Binomiale formule

P(X = 5) = 252·0,7⁵·0,3⁵ = 252·0,1681·0,00243 = 0,1029

Antwoord

P = 0,1029

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,7793

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (53 − 65)/10 = −1,2

z₂ = (77,5 − 65)/10 = 1,25

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,25) − Φ(−1,2) = 0,8944 − 0,1151 = 0,7793

Antwoord

P = 0,7793

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 248,8 g

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,4

z uit de tabel

z ≈ −0,25

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 250 − 0,25·5 = 248,8 g

Antwoord

x = 248,8 g

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 107,6

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 29, t = 2,045

Foutmarge

E = 2,045·10,5/√30 = 3,92

Interval

111,5 ± 3,92 → [107,6, 115,4]

Antwoord

ondergrens = 107,6

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 423

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n oplossen

n = 1,645²·0,5·0,5/0,04² = 422,8

Naar boven afronden

n = 423

Antwoord

n = 423

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 0,8962

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolde variantie

s_p² = (14·7,5² + 5·5²)/19 = 48,03

s_p = 6,93

Standaardfout

SE = 6,93·√(1/15 + 1/6) = 3,348

Toetsingsgrootheid

t = (20 − 17)/3,348 = 0,8962

Antwoord

t = 0,8962

Bij df = 19 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,093; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 20

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

n oplossen

n = (1,645·8/3)² = 19,24

Naar boven afronden

n = 20

Antwoord

n = 20

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,8789

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 88/5 = 17,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 89,2

Determinatiecoëfficiënt

r² = −28²/(10·89,2) = 0,8789

Antwoord

r² = 0,8789

Ongeveer 87,89% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −4,9

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 102/5 = 20,4

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30

Regressielijn

b = −30/10 = −3

a = 20,4 − (−3)·3 = 29,4

ŷ = 29,4 − 3·x

Voorspelde waarde

ŷ = 29,4 + (−3)·3,5 = 18,9

Residu

e = 14 − 18,9 = −4,9

Antwoord

e = −4,9

Het punt ligt onder de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1