Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 39, 32, 13, 13, 27, 37.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 12. Bereken de z-score z van een score van 57,2.

μ = 50σ = 12x = 57,2

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,35, 0,35, 0,05, 0,1, 0,15

σ =

4.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 6 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,6. Wat is de kans P op precies 1 goede antwoorden?

n = 6p = 0,6k = 1

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Welk deel ligt tussen 95,5 en 103,75 punten? Geef P als decimaal getal.

μ = 100σ = 15x₁ = 95,5x₂ = 103,75

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Bereken de waarde x waaronder 99% ervan ligt (het 99e percentiel).

μ = 178σ = 7P = 99%

x = cm

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 13 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde −1,2 en standaardafwijking 2,4. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 13d̄ = −1,2s_d = 2,495%t(12) = 2,179

ondergrens = mmHg

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 5 proefvelden, gemiddelde opbrengst 10,5 kg, standaardafwijking 9,5 kg. Groep 2: 26 proefvelden, gemiddelde −1,5 kg, standaardafwijking 2 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de foutmarge E van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 10,5s₁ = 9,5n₂ = 26x̄₂ = −1,5s₂ = 295%t(29) = 2,045

E = kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 64 studenten heeft een gemiddelde score van 120,8 en een steekproefstandaardafwijking van 4. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 120,8s = 4n = 64

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

In een onderzoek herstellen 113 van de 250 patiënten met behandeling A en 78 van de 200 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 113n₁ = 250x₂ = 78n₂ = 200

z =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 25Σy = 334Σx² = 135Σy² = 22486Σxy = 1706

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 5.

n = 5x = 5

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 11,5

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 161/6 = 26,83

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 12,17² + 5,167² + (−13,83)² + (−13,83)² + 0,1667² + 10,17² = 660,8

Standaardafwijking

s = √(660,8/5) = 11,5

Antwoord

s = 11,5

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 0,6

Standaardiseren

z = (57,2 − 50)/12 = 0,6

Antwoord

z = 0,6

3.Kansrekening

Antwoord: σ = 1,424

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 1·0,35 + 2·0,35 + 3·0,05 + 4·0,1 + 5·0,15 = 2,35

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,35 + 9·0,05 + 16·0,1 + 25·0,15 = 7,55

Variantie

Var(X) = 7,55 − 2,35² = 2,028

σ = √2,028 = 1,424

Antwoord

σ = 1,424

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,03686

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binomiale formule

P(X = 1) = 6·0,6¹·0,4⁵ = 6·0,6·0,01024 = 0,03686

Antwoord

P = 0,03686

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,2166

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (95,5 − 100)/15 = −0,3

z₂ = (103,75 − 100)/15 = 0,25

Oppervlakte ertussen

P = Φ(0,25) − Φ(−0,3) = 0,5987 − 0,3821 = 0,2166

Antwoord

P = 0,2166

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 194,3 cm

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Terug naar x

x = 178 + 2,326·7 = 194,28 cm

Antwoord

x = 194,28 cm

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = −2,65 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 12, t = 2,179

Foutmarge

E = 2,179·2,4/√13 = 1,45

Interval

−1,2 ± 1,45 → [−2,65, 0,2504]

Antwoord

ondergrens = −2,65 mmHg

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 3,982 kg

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (4·9,5² + 25·2²)/29 = 15,9

s_p = 3,987

Foutmarge

E = 2,045·3,987·√(1/5 + 1/26) = 3,982

Antwoord

E = 3,982 kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 1,6

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 4/√64 = 4/8 = 0,5

Toetsingsgrootheid

t = (120,8 − 120)/0,5 = 1,6

Antwoord

t = 1,6

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = 1,322

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Steekproeffracties

p̂₁ = 113/250 = 0,452

p̂₂ = 78/200 = 0,39

p̂ = 191/450 = 0,4244

Standaardfout onder H₀

SE = √(0,4244·0,5756·(1/250 + 1/200)) = 0,04689

Toetsingsgrootheid

z = (0,452 − 0,39)/0,04689 = 1,322

Antwoord

z = 1,322

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,8611

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 1706 − 25·334/5 = 36

S_xx = 135 − 25²/5 = 10

S_yy = 22486 − 334²/5 = 174,8

Correlatiecoëfficiënt

r = 36/√(10·174,8) = 0,8611

Antwoord

r = 0,8611

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 13,5

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 79/5 = 15,8

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92

Regressielijn

b = 92/40 = 2,3

a = 15,8 − 2,3·6 = 2

ŷ = 2 + 2,3·x

Voorspelling

ŷ = 2 + 2,3·5 = 13,5

Antwoord

ŷ = 13,5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1