Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 32, 53, 39, 34, 14.

n = 5

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 15. Welk deel P van de waarden ligt onder 140?

μ = 170σ = 15x = 140

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Een zak bevat 5 rode en 5 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?

5 / 5

P =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 6 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,25. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 6p = 0,25

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,7157 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,7157

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Bereken de waarde x waaronder 90% ervan ligt (het 90e percentiel).

μ = 65σ = 10P = 90%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 10 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 9,9 en standaardafwijking 3,4. Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 10d̄ = 9,9s_d = 3,499%t(9) = 3,25

ondergrens = mmHg

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 30. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft?

σ = 30E = 195%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 81 studenten heeft een gemiddelde score van 121,1 en een steekproefstandaardafwijking van 8. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 121,1s = 8n = 81

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 200 tegen H₁: μ < 200 wordt uitgevoerd bij α = 0.01 met een steekproef van 36; de standaardafwijking is bekend en is 3. In werkelijkheid is het gemiddelde 198.45. Bereken de kans op een fout van de tweede soort β in procenten.

μ₀ = 200μ = 198,45σ = 3n = 36α = 0,01

β = %

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 30Σy = 79Σx² = 220Σy² = 1455Σxy = 564

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (3, 12) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(3, 12)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 14,05

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 172/5 = 34,4

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−2,4)² + 18,6² + 4,6² + (−0,4)² + (−20,4)² = 789,2

Standaardafwijking

s = √(789,2/4) = 14,05

Antwoord

s = 14,05

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,02275

Standaardiseren

z = −2

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Antwoord

P = 0,02275

3.Kansrekening

Antwoord: P = 0,2222

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Eerste en tweede trekking

P = 5/10 · 4/9 = 20/90 = 0,2222

Antwoord

P = 0,2222

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,5339

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,75⁶ = 0,178

P(X = 1) = 6·0,25·0,75⁵ = 0,356

Tel ze op

P = 0,178 + 0,356 = 0,5339

Antwoord

P = 0,5339

5.Normale verdeling

Antwoord: z = −0,57

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,7157 = 0,2843

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,2843 in de tabel en lees z af.

z = −0,57

Antwoord

z = −0,57

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 77,82 punten

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Terug naar x

x = 65 + 1,282·10 = 77,82 punten

Antwoord

x = 77,82 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 6,406 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 9, t = 3,25

Foutmarge

E = 3,25·3,4/√10 = 3,494

Interval

9,9 ± 3,494 → [6,406, 13,39]

Antwoord

ondergrens = 6,406 mmHg

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 3458

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (1,96·30/1)² = 3457

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 3458

Antwoord

n = 3458

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 1,237

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 8/√81 = 8/9 = 0,8889

Toetsingsgrootheid

t = (121,1 − 120)/0,8889 = 1,237

Antwoord

t = 1,237

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: β = 21,95 %

Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritiek steekproefgemiddelde

SE = 3/√36 = 0,5

x̄_c = 200 − 2,326·0,5 = 198,8

z onder het ware gemiddelde

z = (198,8 − 198,45)/0,5 = 0,774

Fout van de tweede soort

onderscheidend vermogen = P(Z < 0.774) = 78.05%

β = 100% − 78,05% = 21,95%

Antwoord

β = 21,95%

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9895

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 564 − 30·79/5 = 90

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 1455 − 79²/5 = 206,8

Correlatiecoëfficiënt

r = 90/√(40·206,8) = 0,9895

Antwoord

r = 0,9895

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −1,71

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 169/6 = 28,17

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 253

Regressielijn

b = 253/70 = 3,614

a = 28,17 − 3,614·7 = 2,867

ŷ = 2,867 + 3,614·x

Voorspelde waarde

ŷ = 2,867 + 3,614·3 = 13,71

Residu

e = 12 − 13,71 = −1,71

Antwoord

e = −1,71

Het punt ligt onder de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1