Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 34, 45, 39, 52, 49, 29.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 8. Bereken de z-score z van een score van 78.

μ = 70σ = 8x = 78

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Er wordt 2 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?

n = 2

P =

4.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 11 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,5. Wat is de kans P op precies 2 goede antwoorden?

n = 11p = 0,5k = 2

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,0694 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,0694

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes X van mannen en Y van vrouwen in een groep zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 180 cm en standaardafwijking 10 cm, Y heeft gemiddelde 170 cm en standaardafwijking 12 cm. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 60 telefoons, gemiddelde 137 h, bekende standaardafwijking 15 h. Model 2: 80 telefoons, gemiddelde 127 h, bekende standaardafwijking 15 h. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 137 hσ₁ = 15 hn₂ = 80x̄₂ = 127 hσ₂ = 15 h95%

ondergrens = h

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 5 proefvelden, gemiddelde opbrengst 76,5 kg, standaardafwijking 3,5 kg. Groep 2: 7 proefvelden, gemiddelde 88 kg, standaardafwijking 1 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de foutmarge E van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 76,5s₁ = 3,5n₂ = 7x̄₂ = 88s₂ = 195%t(10) = 2,228

E = kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 80 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 20. Een aselecte steekproef van 25 waarnemingen heeft een gemiddelde van 70,96. Toets H₀: μ = 80 tegen H₁: μ < 80. Bereken de p-waarde p.

μ₀ = 80σ = 20n = 25x̄ = 70,96H₁: μ < μ₀

p =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

In een onderzoek herstellen 20 van de 100 patiënten met behandeling A en 23 van de 80 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 20n₁ = 100x₂ = 23n₂ = 80

z =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6Σx = 27Σy = 332Σx² = 139Σy² = 19054Σxy = 1602

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 6.

n = 5x = 6

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 8,914

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 248/6 = 41,33

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−7,333)² + 3,667² + (−2,333)² + 10,67² + 7,667² + (−12,33)² = 397,3

Standaardafwijking

s = √(397,3/5) = 8,914

Antwoord

s = 8,914

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 1

Standaardiseren

z = (78 − 70)/8 = 1

Antwoord

z = 1

3.Kansrekening

Antwoord: P = 0,3056

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complement

P(geen zes) = (5/6)² = 0,6944

P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Antwoord

P = 0,3056

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,02686

Binomiale formule

P(X = 2) = 55·0,5²·0,5⁹ = 55·0,25·0,001953 = 0,02686

Antwoord

P = 0,02686

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 1,48

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,0694 = 0,9306

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,9306 in de tabel en lees z af.

z = 1,48

Antwoord

z = 1,48

6.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,7389

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het verschil

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standaardiseren

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Kansrekening

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Antwoord

P = 0,7389

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 4,979 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 137 − 127 = 10

Standaardfout

SE = √(15²/60 + 15²/80) = 2,562

Foutmarge

E = 1,96·2,562 = 5,021

Interval

10 ± 5,021 → [4,979, 15,02]

Antwoord

ondergrens = 4,979 h

Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 3,06 kg

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (4·3,5² + 6·1²)/10 = 5,5

s_p = 2,345

Foutmarge

E = 2,228·2,345·√(1/5 + 1/7) = 3,06

Antwoord

E = 3,06 kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: p = 0,01191

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Toetsingsgrootheid

SE = σ/√n = 20/√25 = 4

z = (70,96 − 80)/4 = −2,26

Staartoppervlakte

Φ(2,26) = 0,9881

1 − Φ(2,26) = 0,0119

p-waarde

p = 0,01191

Antwoord

p = 0,01191

p ≤ 0,05, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = −1,368

Steekproeffracties

p̂₁ = 20/100 = 0,2

p̂₂ = 23/80 = 0,2875

p̂ = 43/180 = 0,2389

Standaardfout onder H₀

SE = √(0,2389·0,7611·(1/100 + 1/80)) = 0,06396

Toetsingsgrootheid

z = (0,2 − 0,2875)/0,06396 = −1,368

Antwoord

z = −1,368

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9876

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 1602 − 27·332/6 = 108

S_xx = 139 − 27²/6 = 17,5

S_yy = 19054 − 332²/6 = 683,3

Correlatiecoëfficiënt

r = 108/√(17,5·683,3) = 0,9876

Antwoord

r = 0,9876

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 55,45

Gemiddelden

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 258/5 = 51,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 154

Regressielijn

b = 154/40 = 3,85

a = 51,6 − 3,85·5 = 32,35

ŷ = 32,35 + 3,85·x

Voorspelling

ŷ = 32,35 + 3,85·6 = 55,45

Antwoord

ŷ = 55,45

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1