Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 57, 40, 33, 42, 43, 18, 15.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 12. Welk deel P van de waarden ligt boven 182?

μ = 170σ = 12x = 182

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,35, 0,05, 0,25

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 2X + 10. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,1, 0,35, 0,3Y = 2X + 10

σ_Y =

5.Normale verdelingGemiddeld

De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Welk deel ligt tussen 32,3 en 38,3 min? Geef P als decimaal getal.

μ = 32σ = 6x₁ = 32,3x₂ = 38,3

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De massa X van een product van lijn 1 en Y van lijn 2 zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 500 g en standaardafwijking 8 g, Y heeft gemiddelde 490 g en standaardafwijking 6 g. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 12 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 5,4 en standaardafwijking 7,3. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 12d̄ = 5,4s_d = 7,395%t(11) = 2,201

ondergrens = mmHg

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De diameters van 11 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 4 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de bovengrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 10 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 3,247 en 2,5% boven 20,483.

n = 11s = 4 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

12 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is 3,23 en de standaardafwijking van de verschillen is 8,6. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μ_d = 0.

n = 12d̄ = 3,23s_d = 8,6

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

In een onderzoek herstellen 90 van de 200 patiënten met behandeling A en 120 van de 250 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 90n₁ = 200x₂ = 120n₂ = 250

z =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 5

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (9, 23) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(9, 23)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 14,8

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 248/7 = 35,43

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 21,57² + 4,571² + (−2,429)² + 6,571² + 7,571² + (−17,43)² + (−20,43)² = 1314

Standaardafwijking

s = √(1314/6) = 14,8

Antwoord

s = 14,8

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,1587

Standaardiseren

z = 1

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Antwoord

P = 0,1587

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 1,36

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 1·0,35 + 2·0,35 + 3·0,05 + 4·0,25 = 2,2

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,35 + 9·0,05 + 16·0,25 = 6,2

Variantie

Var(X) = 6,2 − 2,2² = 1,36

Antwoord

Var(X) = 1,36

4.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 2,289

Spreiding van X

μ = 1,7, Var(X) = 1,31, σ_X = 1,145

Lineaire transformatie

σ_Y = |2|·1,145 = 2,289

Antwoord

σ_Y = 2,289

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 2·1,7 + 10 = 13,4.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,3332

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (32,3 − 32)/6 = 0,05

z₂ = (38,3 − 32)/6 = 1,05

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,05) − Φ(0,05) = 0,8531 − 0,5199 = 0,3332

Antwoord

P = 0,3332

6.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,8413

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het verschil

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standaardiseren

z = (0 − 10)/10 = −1

Kansrekening

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Antwoord

P = 0,8413

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 0,7618 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 11, t = 2,201

Foutmarge

E = 2,201·7,3/√12 = 4,638

Interval

5,4 ± 4,638 → [0,7618, 10,04]

Antwoord

ondergrens = 0,7618 mmHg

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: σ = 7,02 µm

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 10·4² = 160

Grenzen voor σ²

160/20,483 = 7,811

160/3,247 = 49,28

Grens voor σ

σ = √49,28 = 7,02 µm

Antwoord

σ = 7,02 µm

95%-interval voor σ: [2,795, 7,02] µm.

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 1,301

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 8,6/√12 = 2,483

Toetsingsgrootheid

t = 3,23/2,483 = 1,301

Antwoord

t = 1,301

Bij df = 11 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,201; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = −0,6339

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Steekproeffracties

p̂₁ = 90/200 = 0,45

p̂₂ = 120/250 = 0,48

p̂ = 210/450 = 0,4667

Standaardfout onder H₀

SE = √(0,4667·0,5333·(1/200 + 1/250)) = 0,04733

Toetsingsgrootheid

z = (0,45 − 0,48)/0,04733 = −0,6339

Antwoord

z = −0,6339

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,7372

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 102/5 = 20,4

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 39,2

Determinatiecoëfficiënt

r² = −17²/(10·39,2) = 0,7372

Antwoord

r² = 0,7372

Ongeveer 73,72% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −3,333

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 122/6 = 20,33

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 210

Regressielijn

b = 210/70 = 3

a = 20,33 − 3·7 = −0,6667

ŷ = −0,6667 + 3·x

Voorspelde waarde

ŷ = −0,6667 + 3·9 = 26,33

Residu

e = 23 − 26,33 = −3,333

Antwoord

e = −3,333

Het punt ligt onder de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1