Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 46, 39, 13, 30, 49, 25.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 25. Bereken de z-score z van een score van 537,5.

μ = 500σ = 25x = 537,5

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Er wordt 8 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?

n = 8

P =

4.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 10X + 20. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = 10X + 20

σ_Y =

5.Normale verdelingGemiddeld

De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Welk deel ligt tussen 20,3 en 44 min? Geef P als decimaal getal.

μ = 32σ = 6x₁ = 20,3x₂ = 44

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 30% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 178 cmσ = 7 cm30%

x = cm

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 13 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde −6,1 en standaardafwijking 3,6. Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 13d̄ = −6,1s_d = 3,699%t(12) = 3,055

bovengrens = mmHg

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 32. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 5 heeft?

σ = 32E = 599%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 11 studenten, gemiddelde score 107,5, standaardafwijking 3. Groep 2: 11 studenten, gemiddelde score 103,1, standaardafwijking 4. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).

n₁ = 11x̄₁ = 107,5s₁ = 3n₂ = 11x̄₂ = 103,1s₂ = 4

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 50 tegen H₁: μ > 50 wordt uitgevoerd bij α = 0,05 met een steekproef van 36; de standaardafwijking is bekend en is 3. In werkelijkheid is het gemiddelde 50,55. Bereken de kans op een fout van de tweede soort β in procenten.

μ₀ = 50μ = 50,55σ = 3n = 36α = 0,05

β = %

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 2.

n = 6x = 2

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 13,65

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 202/6 = 33,67

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 12,33² + 5,333² + (−20,67)² + (−3,667)² + 15,33² + (−8,667)² = 931,3

Standaardafwijking

s = √(931,3/5) = 13,65

Antwoord

s = 13,65

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 1,5

Standaardiseren

z = (537,5 − 500)/25 = 1,5

Antwoord

z = 1,5

3.Kansrekening

Antwoord: P = 0,7674

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complement

P(geen zes) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Antwoord

P = 0,7674

4.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 8,047

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Spreiding van X

μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Lineaire transformatie

σ_Y = |10|·0,8047 = 8,047

Antwoord

σ_Y = 8,047

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 10·0,95 + 20 = 29,5.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,9517

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (20,3 − 32)/6 = −1,95

z₂ = (44 − 32)/6 = 2

Oppervlakte ertussen

P = Φ(2) − Φ(−1,95) = 0,9772 − 0,02559 = 0,9517

Antwoord

P = 0,9517

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 181,6 cm

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,7

z uit de tabel

z ≈ 0,52

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 178 + 0,52·7 = 181,6 cm

Antwoord

x = 181,6 cm

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = −3,05 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 12, t = 3,055

Foutmarge

E = 3,055·3,6/√13 = 3,05

Interval

−6,1 ± 3,05 → [−9,15, −3,05]

Antwoord

bovengrens = −3,05 mmHg

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 272

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (2,576·32/5)² = 271,8

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 272

Antwoord

n = 272

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 2,919

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolde variantie

s_p² = (10·3² + 10·4²)/20 = 12,5

s_p = 3,536

Standaardfout

SE = 3,536·√(1/11 + 1/11) = 1,508

Toetsingsgrootheid

t = (107,5 − 103,1)/1,508 = 2,919

Antwoord

t = 2,919

Bij df = 20 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,086; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: β = 70,71 %

Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritiek steekproefgemiddelde

SE = 3/√36 = 0,5

x̄_c = 50 + 1,645·0,5 = 50,82

z onder het ware gemiddelde

z = (50,82 − 50,55)/0,5 = 0,545

Fout van de tweede soort

onderscheidend vermogen = P(Z > 0,545) = 29,29%

β = 100% − 29,29% = 70,71%

Antwoord

β = 70,71%

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = −0,9935

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 77/5 = 15,4

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 85,2

Correlatiecoëfficiënt

r = −29/√(10·85,2) = −0,9935

Antwoord

r = −0,9935

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 61,03

Gemiddelden

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 504/6 = 84

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 402

Regressielijn

b = 402/70 = 5,743

a = 84 − 5,743·6 = 49,54

ŷ = 49,54 + 5,743·x

Voorspelling

ŷ = 49,54 + 5,743·2 = 61,03

Antwoord

ŷ = 61,03

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1