Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 56, 21, 14, 36, 12.

n = 5

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 12. Welk deel P van de waarden ligt boven 45,6?

μ = 60σ = 12x = 45,6

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,3, 0,3, 0,25

σ =

4.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 2X + 4. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,05, 0,05, 0,25, 0,35Y = 2X + 4

σ_Y =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,0764 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,0764

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,03 mm en standaardafwijking 0,015 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,02 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.

gat: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 36 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 4,1. Wat is de foutmarge E₂ als hetzelfde onderzoek in plaats daarvan 72 waarnemingen gebruikt?

90%n₁ = 36E₁ = 4,1n₂ = 72

E₂ =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 21. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2 heeft?

σ = 21E = 299%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

10 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is 1,99 en de standaardafwijking van de verschillen is 2,1. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μ_d = 0.

n = 10d̄ = 1,99s_d = 2,1

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

In een onderzoek herstellen 45 van de 300 patiënten met behandeling A en 22 van de 80 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 45n₁ = 300x₂ = 22n₂ = 80

z =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (2,5, 59) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(2,5, 59)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 18,36

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 139/5 = 27,8

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 28,2² + (−6,8)² + (−13,8)² + 8,2² + (−15,8)² = 1349

Standaardafwijking

s = √(1349/4) = 18,36

Antwoord

s = 18,36

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,8849

Standaardiseren

z = −1,2

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Antwoord

P = 0,8849

3.Kansrekening

Antwoord: σ = 1,014

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,15 + 1·0,3 + 2·0,3 + 3·0,25 = 1,65

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,3 + 4·0,3 + 9·0,25 = 3,75

Variantie

Var(X) = 3,75 − 1,65² = 1,028

σ = √1,028 = 1,014

Antwoord

σ = 1,014

4.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 3,353

Spreiding van X

μ = 2,3, Var(X) = 2,81, σ_X = 1,676

Lineaire transformatie

σ_Y = |2|·1,676 = 3,353

Antwoord

σ_Y = 3,353

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 2·2,3 + 4 = 8,6.

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 1,43

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,0764 = 0,9236

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,9236 in de tabel en lees z af.

z = 1,43

Antwoord

z = 1,43

6.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,8849

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het verschil

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm

Standaardiseren

z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2

Kansrekening

P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849

Antwoord

P = 0,8849

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E₂ = 2,899

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Verhouding van de marges

E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(36/72) = 0,7071

Nieuwe marge

E₂ = 4,1·0,7071 = 2,899

Antwoord

E₂ = 2,899

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 732

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (2,576·21/2)² = 731,6

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 732

Antwoord

n = 732

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 2,997

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 2,1/√10 = 0,6641

Toetsingsgrootheid

t = 1,99/0,6641 = 2,997

Antwoord

t = 2,997

Bij df = 9 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,262; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = −2,607

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Steekproeffracties

p̂₁ = 45/300 = 0,15

p̂₂ = 22/80 = 0,275

p̂ = 67/380 = 0,1763

Standaardfout onder H₀

SE = √(0,1763·0,8237·(1/300 + 1/80)) = 0,04795

Toetsingsgrootheid

z = (0,15 − 0,275)/0,04795 = −2,607

Antwoord

z = −2,607

|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9911

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 167/6 = 27,83

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 253

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 930,8

Correlatiecoëfficiënt

r = 253/√(70·930,8) = 0,9911

Antwoord

r = 0,9911

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 3,55

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 281/5 = 56,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 15

Regressielijn

b = 15/10 = 1,5

a = 56,2 − 1,5·3 = 51,7

ŷ = 51,7 + 1,5·x

Voorspelde waarde

ŷ = 51,7 + 1,5·2,5 = 55,45

Residu

e = 59 − 55,45 = 3,55

Antwoord

e = 3,55

Het punt ligt boven de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1