Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 24, 57, 42, 44, 49.

n = 5

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 10. Welk deel P van de waarden ligt onder 158?

μ = 170σ = 10x = 158

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 3 personen kiezen uit een groep van 7? De volgorde doet er niet toe.

n = 7k = 3

N =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 9 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,4. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 9p = 0,4

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

X is normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 4 g; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 500 g en standaardafwijking 9 g. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 759,8 g. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 759,8 g

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Bereken de waarde x waaronder 75% ervan ligt (het 75e percentiel).

μ = 32σ = 6P = 75%

x = min

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 100 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 2,8. Wat is de foutmarge E₂ van een 95%-interval uit dezelfde data?

90%n₁ = 100E₁ = 2,895%

E₂ =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 8 proefvelden, gemiddelde opbrengst 32,5 kg, standaardafwijking 3 kg. Groep 2: 13 proefvelden, gemiddelde 36 kg, standaardafwijking 9,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 32,5s₁ = 3n₂ = 13x̄₂ = 36s₂ = 9,599%t(19) = 2,861

ondergrens = kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 64 studenten heeft een gemiddelde score van 118,2 en een steekproefstandaardafwijking van 8. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 118,2s = 8n = 64

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 50 tegen H₁: μ < 50 wordt uitgevoerd bij α = 0.05 met een steekproef van 25; de standaardafwijking is bekend en is 15. In werkelijkheid is het gemiddelde 41.6. Bereken het onderscheidend vermogen 1 − β van de toets in procenten.

μ₀ = 50μ = 41,6σ = 15n = 25α = 0,05

1 − β = %

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 5

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 3,5.

n = 6x = 3,5

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 12,19

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 216/5 = 43,2

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−19,2)² + 13,8² + (−1,2)² + 0,8² + 5,8² = 594,8

Standaardafwijking

s = √(594,8/4) = 12,19

Antwoord

s = 12,19

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,1151

Standaardiseren

z = −1,2

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Antwoord

P = 0,1151

3.Kansrekening

Antwoord: N = 35

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(7, 3) = (7·6·5)/(3·2·1) = 35

Antwoord

N = 35

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,07054

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,6⁹ = 0,01008

P(X = 1) = 9·0,4·0,6⁸ = 0,06047

Tel ze op

P = 0,01008 + 0,06047 = 0,07054

Antwoord

P = 0,07054

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,1587

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van de som

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standaardiseren

z = (759,8 − 750)/9,849 = 1

Rechterstaart

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Antwoord

P = 0,1587

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 36,05 min

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Terug naar x

x = 32 + 0,6745·6 = 36,05 min

Antwoord

x = 36,05 min

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E₂ = 3,336

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Verhouding van de marges

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(100/100) = 1,191

Nieuwe marge

E₂ = 2,8·1,191 = 3,336

Antwoord

E₂ = 3,336

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = −13,48 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (7·3² + 12·9,5²)/19 = 60,32

s_p = 7,766

Foutmarge

E = 2,861·7,766·√(1/8 + 1/13) = 9,985

Interval

−3,5 ± 9,985 → [−13,48, 6,485]

Antwoord

ondergrens = −13,48 kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −1,8

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

Toetsingsgrootheid

t = (118,2 − 120)/1 = −1,8

Antwoord

t = −1,8

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: 1 − β = 87,6 %

Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritiek steekproefgemiddelde

SE = 15/√25 = 3

x̄_c = 50 − 1,645·3 = 45,06

z onder het ware gemiddelde

z = (45,06 − 41,6)/3 = 1,155

Vermogen

onderscheidend vermogen = P(Z < 1.155) = 87.6%

1 − β = 87,6%

Antwoord

1 − β = 87,6%

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9868

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 103/5 = 20,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 91,2

Determinatiecoëfficiënt

r² = −30²/(10·91,2) = 0,9868

Antwoord

r² = 0,9868

Ongeveer 98,68% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 39,38

Gemiddelden

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 257/6 = 42,83

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60,5

Regressielijn

b = 60,5/17,5 = 3,457

a = 42,83 − 3,457·4,5 = 27,28

ŷ = 27,28 + 3,457·x

Voorspelling

ŷ = 27,28 + 3,457·3,5 = 39,38

Antwoord

ŷ = 39,38

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1