Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 56, 29, 58, 31, 31, 32.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 12. Welk deel P van de waarden ligt boven 38?

μ = 50σ = 12x = 38

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Er wordt 8 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?

n = 8

P =

4.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 9 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,3. Wat is de kans P op precies 2 goede antwoorden?

n = 9p = 0,3k = 2

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

De massa's van zakken cement zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 kg en standaardafwijking 0,5 kg. Bepaal de kans P dat de totale massa van 16 ervan groter is dan 401 kg. Rond z af op twee decimalen.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 16> 401 kg

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 10% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 65 puntenσ = 10 punten10%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 64 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 1,7. Wat is de foutmarge E₂ van een 90%-interval uit dezelfde data?

99%n₁ = 64E₁ = 1,790%

E₂ =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De diameters van 21 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 11,7 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 20 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 9,591 en 2,5% boven 34,17.

n = 21s = 11,7 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 30 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 65,5 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 9 mm. Lijn 2: een steekproef van 60 onderdelen heeft gemiddelde 63,7 mm, bekende standaardafwijking 20 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).

n₁ = 30x̄₁ = 65,5 mmσ₁ = 9 mmn₂ = 60x̄₂ = 63,7 mmσ₂ = 20 mm

z =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 100 tegen H₁: μ < 100 wordt uitgevoerd bij α = 0.05 met een steekproef van 36; de standaardafwijking is bekend en is 3. In werkelijkheid is het gemiddelde 98.75. Bereken de kans op een fout van de tweede soort β in procenten.

μ₀ = 100μ = 98,75σ = 3n = 36α = 0,05

β = %

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 70?

n = 6ŷ = 70

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 13,61

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 237/6 = 39,5

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 16,5² + (−10,5)² + 18,5² + (−8,5)² + (−8,5)² + (−7,5)² = 925,5

Standaardafwijking

s = √(925,5/5) = 13,61

Antwoord

s = 13,61

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,8413

Standaardiseren

z = −1

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Antwoord

P = 0,8413

3.Kansrekening

Antwoord: P = 0,7674

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complement

P(geen zes) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Antwoord

P = 0,7674

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,2668

Binomiale formule

P(X = 2) = 36·0,3²·0,7⁷ = 36·0,09·0,08235 = 0,2668

Antwoord

P = 0,2668

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,3085

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het totaal

μ_T = 400 kg, σ_T = 0,5·√16 = 2 kg

Standaardiseren

z = (401 − 400)/2 = 0,5

Kansrekening

P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085

Antwoord

P = 0,3085

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 77,8 punten

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,9

z uit de tabel

z ≈ 1,28

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 65 + 1,28·10 = 77,8 punten

Antwoord

x = 77,8 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E₂ = 1,086

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Verhouding van de marges

E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(64/64) = 0,6386

Nieuwe marge

E₂ = 1,7·0,6386 = 1,086

Antwoord

E₂ = 1,086

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: σ = 8,951 µm

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 20·11,7² = 2738

Grenzen voor σ²

2738/34,17 = 80,12

2738/9,591 = 285,5

Grens voor σ

σ = √80,12 = 8,951 µm

Antwoord

σ = 8,951 µm

95%-interval voor σ: [8,951, 16,9] µm.

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = 0,5881

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standaardfout van het verschil

SE = √(9²/30 + 20²/60) = √9,367 = 3,061

Toetsingsgrootheid

z = (65,5 − 63,7)/3,061 = 0,5881

Antwoord

z = 0,5881

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: β = 19,63 %

Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritiek steekproefgemiddelde

SE = 3/√36 = 0,5

x̄_c = 100 − 1,645·0,5 = 99,18

z onder het ware gemiddelde

z = (99,18 − 98,75)/0,5 = 0,855

Fout van de tweede soort

onderscheidend vermogen = P(Z < 0.855) = 80.37%

β = 100% − 80,37% = 19,63%

Antwoord

β = 19,63%

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9651

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 403/6 = 67,17

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 277

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1177

Correlatiecoëfficiënt

r = 277/√(70·1177) = 0,9651

Antwoord

r = 0,9651

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 3,661

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 415/6 = 69,17

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 90,5

Regressielijn

b = 90,5/17,5 = 5,171

a = 69,17 − 5,171·3,5 = 51,07

ŷ = 51,07 + 5,171·x

Los op naar x

x = (70 − 51,07)/5,171 = 3,661

Antwoord

x = 3,661

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1