Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 50, 52, 37, 42, 59.

n = 5

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt boven 50?

μ = 70σ = 20x = 50

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 10 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,3. Wat is de kans P op precies 4 goede antwoorden?

n = 10p = 0,3k = 4

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,9222 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,9222

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 10% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 500 hσ = 40 h10%

x = h

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 7 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 1 en standaardafwijking 5,6. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 7d̄ = 1s_d = 5,690%t(6) = 1,943

ondergrens = mmHg

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De diameters van 30 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 8,3 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 29 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 16,047 en 2,5% boven 45,722.

n = 30s = 8,3 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 16 studenten heeft een gemiddelde score van 488,4 en een steekproefstandaardafwijking van 15. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 488,4s = 15n = 16

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,01 moet een verschuiving van het gemiddelde van 2,5 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 90 %. De standaardafwijking is 12. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,01onderscheidend vermogen = 90%δ = 2,5σ = 12z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 105Σy = 353Σx² = 2245Σy² = 25815Σxy = 7591

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 19?

n = 5ŷ = 19

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 8,631

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 240/5 = 48

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 2² + 4² + (−11)² + (−6)² + 11² = 298

Standaardafwijking

s = √(298/4) = 8,631

Antwoord

s = 8,631

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,8413

Standaardiseren

z = −1

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Antwoord

P = 0,8413

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 0,6475

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Variantie

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

Antwoord

Var(X) = 0,6475

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,2001

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binomiale formule

P(X = 4) = 210·0,3⁴·0,7⁶ = 210·0,0081·0,1176 = 0,2001

Antwoord

P = 0,2001

5.Normale verdeling

Antwoord: z = −1,42

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,9222 = 0,0778

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,0778 in de tabel en lees z af.

z = −1,42

Antwoord

z = −1,42

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 449 h

Oppervlak links

Φ(z) = 0,1

z uit de tabel

z ≈ −1,28

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 500 − 1,28·40 = 449 h

Antwoord

x = 449 h

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = −3,113 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 6, t = 1,943

Foutmarge

E = 1,943·5,6/√7 = 4,113

Interval

1 ± 4,113 → [−3,113, 5,113]

Antwoord

ondergrens = −3,113 mmHg

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: σ = 6,61 µm

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 29·8,3² = 1998

Grenzen voor σ²

1998/45,722 = 43,69

1998/16,047 = 124,5

Grens voor σ

σ = √43,69 = 6,61 µm

Antwoord

σ = 6,61 µm

95%-interval voor σ: [6,61, 11,16] µm.

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −3,093

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75

Toetsingsgrootheid

t = (488,4 − 500)/3,75 = −3,093

Antwoord

t = −3,093

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 300

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((2,326 + 1,282)·12/2,5)² = 299,9

Naar boven afronden

n = 300

Antwoord

n = 300

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9417

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 7591 − 105·353/5 = 178

S_xx = 2245 − 105²/5 = 40

S_yy = 25815 − 353²/5 = 893,2

Correlatiecoëfficiënt

r = 178/√(40·893,2) = 0,9417

Antwoord

r = 0,9417

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 7,154

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 80/5 = 16

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104

Regressielijn

b = 104/40 = 2,6

a = 16 − 2,6·6 = 0,4

ŷ = 0,4 + 2,6·x

Los op naar x

x = (19 − 0,4)/2,6 = 7,154

Antwoord

x = 7,154

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1