Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 37, 18, 27, 40, 28, 34.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 12. Welk deel P van de waarden ligt onder 152?

μ = 170σ = 12x = 152

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 2 personen kiezen uit een groep van 11? De volgorde doet er niet toe.

n = 11k = 2

N =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 5 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,25. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 5p = 0,25

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Welk deel ligt tussen 22,7 en 38,3 min? Geef P als decimaal getal.

μ = 32σ = 6x₁ = 22,7x₂ = 38,3

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De massa X van een product van lijn 1 en Y van lijn 2 zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 500 g en standaardafwijking 8 g, Y heeft gemiddelde 490 g en standaardafwijking 6 g. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 6 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 1,7 en standaardafwijking 2,4. Bereken de foutmarge E van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 6d̄ = 1,7s_d = 2,499%t(5) = 4,032

E = mmHg

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 22 proefvelden, gemiddelde opbrengst 77,5 kg, standaardafwijking 7,5 kg. Groep 2: 9 proefvelden, gemiddelde 89 kg, standaardafwijking 7,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 22x̄₁ = 77,5s₁ = 7,5n₂ = 9x̄₂ = 89s₂ = 7,590%t(29) = 1,699

ondergrens = kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 30 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 146,5 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 20 mm. Lijn 2: een steekproef van 30 onderdelen heeft gemiddelde 155,4 mm, bekende standaardafwijking 4 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).

n₁ = 30x̄₁ = 146,5 mmσ₁ = 20 mmn₂ = 30x̄₂ = 155,4 mmσ₂ = 4 mm

z =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

In een onderzoek herstellen 113 van de 250 patiënten met behandeling A en 70 van de 120 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 113n₁ = 250x₂ = 70n₂ = 120

z =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 15Σy = 108Σx² = 55Σy² = 2356Σxy = 309

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 4.

n = 5x = 4

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 7,992

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 184/6 = 30,67

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 6,333² + (−12,67)² + (−3,667)² + 9,333² + (−2,667)² + 3,333² = 319,3

Standaardafwijking

s = √(319,3/5) = 7,992

Antwoord

s = 7,992

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,06681

Standaardiseren

z = −1,5

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

Antwoord

P = 0,06681

3.Kansrekening

Antwoord: N = 55

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(11, 2) = (11·10)/(2·1) = 55

Antwoord

N = 55

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,6328

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,75⁵ = 0,2373

P(X = 1) = 5·0,25·0,75⁴ = 0,3955

Tel ze op

P = 0,2373 + 0,3955 = 0,6328

Antwoord

P = 0,6328

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,7926

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (22,7 − 32)/6 = −1,55

z₂ = (38,3 − 32)/6 = 1,05

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,05) − Φ(−1,55) = 0,8531 − 0,06057 = 0,7926

Antwoord

P = 0,7926

6.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,8413

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het verschil

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standaardiseren

z = (0 − 10)/10 = −1

Kansrekening

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Antwoord

P = 0,8413

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 3,951 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 5, t = 4,032

Foutmarge

E = 4,032·2,4/√6 = 3,951

Antwoord

E = 3,951 mmHg

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = −16,54 kg

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (21·7,5² + 8·7,5²)/29 = 56,25

s_p = 7,5

Foutmarge

E = 1,699·7,5·√(1/22 + 1/9) = 5,042

Interval

−11,5 ± 5,042 → [−16,54, −6,458]

Antwoord

ondergrens = −16,54 kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = −2,39

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standaardfout van het verschil

SE = √(20²/30 + 4²/30) = √13,87 = 3,724

Toetsingsgrootheid

z = (146,5 − 155,4)/3,724 = −2,39

Antwoord

z = −2,39

|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = −2,365

Steekproeffracties

p̂₁ = 113/250 = 0,452

p̂₂ = 70/120 = 0,5833

p̂ = 183/370 = 0,4946

Standaardfout onder H₀

SE = √(0,4946·0,5054·(1/250 + 1/120)) = 0,05552

Toetsingsgrootheid

z = (0,452 − 0,5833)/0,05552 = −2,365

Antwoord

z = −2,365

|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = −0,9848

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 309 − 15·108/5 = −15

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 2356 − 108²/5 = 23,2

Correlatiecoëfficiënt

r = −15/√(10·23,2) = −0,9848

Antwoord

r = −0,9848

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 39,6

Gemiddelden

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 240/5 = 48

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 112

Regressielijn

b = 112/40 = 2,8

a = 48 − 2,8·7 = 28,4

ŷ = 28,4 + 2,8·x

Voorspelling

ŷ = 28,4 + 2,8·4 = 39,6

Antwoord

ŷ = 39,6

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1