Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 24, 44, 27, 39, 51, 13, 60.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 12. Welk deel P van de waarden ligt boven 160,4?

μ = 170σ = 12x = 160,4

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 2 personen kiezen uit een groep van 10? De volgorde doet er niet toe.

n = 10k = 2

N =

4.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 11 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,25. Wat is de kans P op precies 5 goede antwoorden?

n = 11p = 0,25k = 5

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

De massa's van passagiers met bagage zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 85 kg en standaardafwijking 12 kg. Bepaal de kans P dat de totale massa van 5 ervan kleiner is dan 465,2 kg. Rond z af op twee decimalen.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5< 465.2 kg

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Bereken de waarde x waaronder 90% ervan ligt (het 90e percentiel).

μ = 65σ = 10P = 90%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 6 items heeft gemiddelde 20 en standaardafwijking s = 9,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 6x̄ = 20s = 9,599%t(5) = 4,032

E =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 3. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft?

σ = 3E = 199%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 100 studenten heeft een gemiddelde score van 115,3 en een steekproefstandaardafwijking van 15. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 115,3s = 15n = 100

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft? De standaardafwijking is 10. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 10E = 199%

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (6, 46) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(6, 46)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 16,45

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 258/7 = 36,86

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−12,86)² + 7,143² + (−9,857)² + 2,143² + 14,14² + (−23,86)² + 23,14² = 1623

Standaardafwijking

s = √(1623/6) = 16,45

Antwoord

s = 16,45

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,7881

Standaardiseren

z = −0,8

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Antwoord

P = 0,7881

3.Kansrekening

Antwoord: N = 45

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(10, 2) = (10·9)/(2·1) = 45

Antwoord

N = 45

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,0803

Binomiale formule

P(X = 5) = 462·0,25⁵·0,75⁶ = 462·0,0009766·0,178 = 0,0803

Antwoord

P = 0,0803

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,9332

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het totaal

μ_T = 425 kg, σ_T = 12·√5 = 26,83 kg

Standaardiseren

z = (465,2 − 425)/26,83 = 1,5

Kansrekening

P = Φ(1,5) = 0,9332

Antwoord

P = 0,9332

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 77,82 punten

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Terug naar x

x = 65 + 1,282·10 = 77,82 punten

Antwoord

x = 77,82 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 15,64

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 5, t = 4,032

Foutmarge

E = 4,032·9,5/√6 = 15,64

Antwoord

E = 15,64

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 60

n oplossen

n = (2,576·3/1)² = 59,72

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 60

Antwoord

n = 60

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −3,133

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5

Toetsingsgrootheid

t = (115,3 − 120)/1,5 = −3,133

Antwoord

t = −3,133

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 664

n oplossen

n = (2,576·10/1)² = 663,6

Naar boven afronden

n = 664

Antwoord

n = 664

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9799

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 508/5 = 101,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 519

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3117

Correlatiecoëfficiënt

r = 519/√(90·3117) = 0,9799

Antwoord

r = 0,9799

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 4,667

Gemiddelden

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 248/6 = 41,33

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 166

Regressielijn

b = 166/70 = 2,371

a = 41,33 − 2,371·6 = 27,1

ŷ = 27,1 + 2,371·x

Voorspelde waarde

ŷ = 27,1 + 2,371·6 = 41,33

Residu

e = 46 − 41,33 = 4,667

Antwoord

e = 4,667

Het punt ligt boven de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1