Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 34, 36, 20, 31, 23, 57.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 5. Bereken de z-score z van een score van 180.

μ = 170σ = 5x = 180

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,3, 0,1, 0,25

σ =

4.KansrekeningMoeilijk

Een spel kost €2 inzet. Je wint €10 met kans 0,2 en €20 met kans 0,01; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €2€10: p = 0,2€20: p = 0,01

E(G) = €

5.Normale verdelingGemiddeld

X is normaal verdeeld met gemiddelde 60 s en standaardafwijking 5 s; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 45 s en standaardafwijking 4 s. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 108,2 s. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 108,2 s

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Bereken de waarde x waaronder 20% ervan ligt (het 20e percentiel).

μ = 500σ = 40P = 20%

x = h

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 8 items heeft gemiddelde 117 en standaardafwijking s = 1. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 8x̄ = 117s = 190%t(7) = 1,895

ondergrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 24. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 5 heeft?

σ = 24E = 599%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 16 studenten heeft een gemiddelde score van 37 en een steekproefstandaardafwijking van 20. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 37s = 20n = 16

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 49 metingen heeft gemiddelde 502,6. De standaardafwijking van de populatie is 10. Bereken de bovengrens U van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 502,6σ = 10n = 4995%

U =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 95Σy = 236Σx² = 1845Σy² = 11448Σxy = 4574

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 3.

n = 5x = 3

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 13,1

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 201/6 = 33,5

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 0,5² + 2,5² + (−13,5)² + (−2,5)² + (−10,5)² + 23,5² = 857,5

Standaardafwijking

s = √(857,5/5) = 13,1

Antwoord

s = 13,1

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 2

Standaardiseren

z = (180 − 170)/5 = 2

Antwoord

z = 2

3.Kansrekening

Antwoord: σ = 1,178

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 1·0,35 + 2·0,3 + 3·0,1 + 4·0,25 = 2,25

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,3 + 9·0,1 + 16·0,25 = 6,45

Variantie

Var(X) = 6,45 − 2,25² = 1,387

σ = √1,387 = 1,178

Antwoord

σ = 1,178

4.Kansrekening

Antwoord: E(G) = 0,2 €

Netto-uitkomsten

G: 8 (p = 0,2), 18 (p = 0,01), −2 (p = 0,79)

Verwachtingswaarde

E(G) = 8·0,2 + 18·0,01 − 2·0,79 = 0,2 €

Antwoord

E(G) = 0,2 €

Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,3085

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van de som

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standaardiseren

z = (108,2 − 105)/6,403 = 0,5

Rechterstaart

P = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085

Antwoord

P = 0,3085

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 466,3 h

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Terug naar x

x = 500 + −0,8416·40 = 466,34 h

Antwoord

x = 466,34 h

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 116,3

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 7, t = 1,895

Foutmarge

E = 1,895·1/√8 = 0,67

Interval

117 ± 0,67 → [116,3, 117,7]

Antwoord

ondergrens = 116,3

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 153

n oplossen

n = (2,576·24/5)² = 152,9

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 153

Antwoord

n = 153

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −2,6

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

Toetsingsgrootheid

t = (37 − 50)/5 = −2,6

Antwoord

t = −2,6

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: U = 505,4

Foutmarge

E = 1,96·10/√49 = 2,8

Intervalgrens

U = 502,6 + 2,8 = 505,4

Antwoord

U = 505,4

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,8098

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 4574 − 95·236/5 = 90

S_xx = 1845 − 95²/5 = 40

S_yy = 11448 − 236²/5 = 308,8

Correlatiecoëfficiënt

r = 90/√(40·308,8) = 0,8098

Antwoord

r = 0,8098

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 8,85

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 78/5 = 15,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 90

Regressielijn

b = 90/40 = 2,25

a = 15,6 − 2,25·6 = 2,1

ŷ = 2,1 + 2,25·x

Voorspelling

ŷ = 2,1 + 2,25·3 = 8,85

Antwoord

ŷ = 8,85

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1