Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 22, 49, 27, 49, 52, 51, 48.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 5. Bereken de z-score z van een score van 66.

μ = 70σ = 5x = 66

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,35, 0,2, 0,25

σ =

4.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 3X + 5. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,3, 0,1, 0,25Y = 3X + 5

σ_Y =

5.Normale verdelingGemiddeld

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Welk deel ligt tussen 57,5 en 77,5 punten? Geef P als decimaal getal.

μ = 65σ = 10x₁ = 57,5x₂ = 77,5

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 85% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 178 cmσ = 7 cm85%

x = cm

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 10 items heeft gemiddelde 65,5 en standaardafwijking s = 13,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 10x̄ = 65,5s = 13,595%t(9) = 2,262

E =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 22. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft?

σ = 22E = 390%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

13 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is 0,69 en de standaardafwijking van de verschillen is 3,1. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μ_d = 0.

n = 13d̄ = 0,69s_d = 3,1

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 16 metingen heeft gemiddelde 68. De standaardafwijking van de populatie is 20. Bereken de ondergrens L van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 68σ = 20n = 1690%

L =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6Σx = 21Σy = 101Σx² = 91Σy² = 1765Σxy = 322

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 5,5.

n = 6x = 5,5

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 12,5

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 298/7 = 42,57

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−20,57)² + 6,429² + (−15,57)² + 6,429² + 9,429² + 8,429² + 5,429² = 937,7

Standaardafwijking

s = √(937,7/6) = 12,5

Antwoord

s = 12,5

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = −0,8

Standaardiseren

z = (66 − 70)/5 = −0,8

Antwoord

z = −0,8

3.Kansrekening

Antwoord: σ = 2,145

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,2 + 2·0,35 + 4·0,2 + 6·0,25 = 3

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,2 + 4·0,35 + 16·0,2 + 36·0,25 = 13,6

Variantie

Var(X) = 13,6 − 3² = 4,6

σ = √4,6 = 2,145

Antwoord

σ = 2,145

4.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 7,068

Spreiding van X

μ = 2,5, Var(X) = 5,55, σ_X = 2,356

Lineaire transformatie

σ_Y = |3|·2,356 = 7,068

Antwoord

σ_Y = 7,068

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 3·2,5 + 5 = 12,5.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,6677

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (57,5 − 65)/10 = −0,75

z₂ = (77,5 − 65)/10 = 1,25

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,25) − Φ(−0,75) = 0,8944 − 0,2266 = 0,6677

Antwoord

P = 0,6677

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 185,3 cm

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,85

z uit de tabel

z ≈ 1,04

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 178 + 1,04·7 = 185,3 cm

Antwoord

x = 185,3 cm

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 9,657

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 9, t = 2,262

Foutmarge

E = 2,262·13,5/√10 = 9,657

Antwoord

E = 9,657

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 146

n oplossen

n = (1,645·22/3)² = 145,5

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 146

Antwoord

n = 146

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 0,8025

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 3,1/√13 = 0,8598

Toetsingsgrootheid

t = 0,69/0,8598 = 0,8025

Antwoord

t = 0,8025

Bij df = 12 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,179; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: L = 59,77

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Foutmarge

E = 1,645·20/√16 = 8,225

Intervalgrens

L = 68 − 8,225 = 59,77

Antwoord

L = 59,77

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = −0,9352

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 322 − 21·101/6 = −31,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 1765 − 101²/6 = 64,83

Correlatiecoëfficiënt

r = −31,5/√(17,5·64,83) = −0,9352

Antwoord

r = −0,9352

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 53,98

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 280/6 = 46,67

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64

Regressielijn

b = 64/17,5 = 3,657

a = 46,67 − 3,657·3,5 = 33,87

ŷ = 33,87 + 3,657·x

Voorspelling

ŷ = 33,87 + 3,657·5,5 = 53,98

Antwoord

ŷ = 53,98

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1