Beschrijvende statistiek
- Gemiddelde
- x̄ = Σx/n
- Steekproefstandaardafwijking
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediaan
- middelste waarde van de gesorteerde gegevens
- z-score
- z = (x − μ)/σ
- Normale verdeling
- 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ
Inleiding statistiek: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Kansrekening
- Complement
- P(not A) = 1 − P(A)
- Somregel
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Onafhankelijke gebeurtenissen
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Voorwaardelijke kans
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomiaal
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normale verdeling
- z-score
- z = (x − μ)/σ
- Onder x
- P(X < x) = Φ(z)
- Boven x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tussen
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentiel
- x = μ + z·σ
Methode
- Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
- Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
- Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
- Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.
Betrouwbaarheidsintervallen
- σ bekend
- x̄ ± z·σ/√n
- σ onbekend
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritieke z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Steekproefomvang
- n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
- Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
- Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
- Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
- Interval: x̄ ± E.
Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
- z-toets voor een gemiddelde
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-toets voor een gemiddelde
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Tweezijdig bij 5%
- verwerp H0 als |z| > 1,96
- Betrouwbaarheidsinterval
- x̄ ± z·σ/√n
Methode
- Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
- Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
- Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
- Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.
Lineaire regressie en correlatie
- Kwadratensommen
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Helling
- b = Sxy/Sxx
- Snijpunt met de y-as
- a = ȳ − b·x̄
- Correlatie
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Oefenopgaven
1.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 40, 57, 49, 12, 18, 44, 43.
n = 7
s =
2.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 10. Bereken de z-score z van een score van 150.
μ = 170σ = 10x = 150
z =
3.KansrekeningGemiddeld
Een zak bevat 6 rode en 5 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?
6 / 5
P =
4.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 9 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,25. Wat is de kans P op precies 1 goede antwoorden?
n = 9p = 0,25k = 1
P =
5.Normale verdelingGemiddeld
De massa's van passagiers met bagage zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 85 kg en standaardafwijking 12 kg. Bepaal de kans P dat de totale massa van 10 ervan groter is dan 906,9 kg. Rond z af op twee decimalen.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 10> 906,9 kg
P =
6.Normale verdelingMoeilijk
De massa X van een product van lijn 1 en Y van lijn 2 zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 500 g en standaardafwijking 8 g, Y heeft gemiddelde 490 g en standaardafwijking 6 g. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 30 telefoons, gemiddelde 77,5 h, bekende standaardafwijking 16 h. Model 2: 100 telefoons, gemiddelde 92,5 h, bekende standaardafwijking 10 h. Bereken de foutmarge E van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
n₁ = 30x̄₁ = 77,5 hσ₁ = 16 hn₂ = 100x̄₂ = 92,5 hσ₂ = 10 h99%
E = h
8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Over de fractie defecte producten is vooraf niets bekend. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,05 heeft?
p = 0,5E = 0,0595%
n =
9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 500 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 7,5. Een aselecte steekproef van 25 waarnemingen heeft een gemiddelde van 497,12. Toets H₀: μ = 500 tegen H₁: μ < 500. Bereken de p-waarde p.
μ₀ = 500σ = 7,5n = 25x̄ = 497,12H₁: μ < μ₀
p =
10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
In een onderzoek herstellen 75 van de 300 patiënten met behandeling A en 26 van de 120 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 75n₁ = 300x₂ = 26n₂ = 120
z =
11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5
r =
12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 64?
n = 5ŷ = 64
x =
3Oplossingen
1.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 16,44
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Gemiddelde
x̄ = 263/7 = 37,57
Gekwadrateerde afwijkingen
Σ(x − x̄)² = 2,429² + 19,43² + 11,43² + (−25,57)² + (−19,57)² + 6,429² + 5,429² = 1622
Standaardafwijking
s = √(1622/6) = 16,44
Antwoord
s = 16,44
2.Beschrijvende statistiek
Antwoord: z = −2
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (150 − 170)/10 = −2
Antwoord
z = −2
3.Kansrekening
Antwoord: P = 0,2727
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Eerste en tweede trekking
P = 6/11 · 5/10 = 30/110 = 0,2727
Antwoord
P = 0,2727
4.Kansrekening
Antwoord: P = 0,2253
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binomiale formule
P(X = 1) = 9·0,251·0,758 = 9·0,25·0,1001 = 0,2253
Antwoord
P = 0,2253
5.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,06681
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het totaal
μT = 850 kg, σT = 12·√10 = 37,95 kg
Standaardiseren
z = (906,9 − 850)/37,95 = 1,5
Kansrekening
P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681
Antwoord
P = 0,06681
6.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,8413
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Standaardiseren
z = (0 − 10)/10 = −1
Kansrekening
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Antwoord
P = 0,8413
7.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 7,954 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Puntschatting
x̄₁ − x̄₂ = 77,5 − 92,5 = −15
Standaardfout
SE = √(16²/30 + 10²/100) = 3,088
Foutmarge
E = 2,576·3,088 = 7,954
Antwoord
E = 7,954 h
Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.
8.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 385
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
n oplossen
n = 1,96²·0,5·0,5/0,05² = 384,2
Naar boven afronden
n = 385
Antwoord
n = 385
9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: p = 0,02743
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Toetsingsgrootheid
SE = σ/√n = 7,5/√25 = 1,5
z = (497,12 − 500)/1,5 = −1,92
Staartoppervlakte
Φ(1,92) = 0,9726
1 − Φ(1,92) = 0,0274
p-waarde
p = 0,02743
Antwoord
p = 0,02743
p ≤ 0,05, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau.
10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = 0,7221
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Steekproeffracties
p̂₁ = 75/300 = 0,25
p̂₂ = 26/120 = 0,2167
p̂ = 101/420 = 0,2405
Standaardfout onder H₀
SE = √(0,2405·0,7595·(1/300 + 1/120)) = 0,04616
Toetsingsgrootheid
z = (0,25 − 0,2167)/0,04616 = 0,7221
Antwoord
z = 0,7221
|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
11.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9979
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 139/5 = 27,8
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 162
Syy = Σ(y − ȳ)² = 658,8
Correlatiecoëfficiënt
r = 162/√(40·658,8) = 0,9979
Antwoord
r = 0,9979
12.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 8,013
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 301/5 = 60,2
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150
Regressielijn
b = 150/40 = 3,75
a = 60,2 − 3,75·7 = 33,95
ŷ = 33,95 + 3,75·x
Los op naar x
x = (64 − 33,95)/3,75 = 8,013
Antwoord
x = 8,013
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1