Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 53, 38, 13, 34, 20.

n = 5

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 8. Welk deel P van de waarden ligt onder 70?

μ = 60σ = 8x = 70

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,1, 0,25, 0,2, 0,3

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 11 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,3. Wat is de kans P op precies 3 goede antwoorden?

n = 11p = 0,3k = 3

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,2886 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,2886

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 40% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 250 gσ = 5 g40%

x = g

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 9 items heeft gemiddelde 100,5 en standaardafwijking s = 6. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 9x̄ = 100,5s = 690%t(8) = 1,86

E =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 31. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft?

σ = 31E = 1,595%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

15 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is −2,11 en de standaardafwijking van de verschillen is 10,2. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μ_d = 0.

n = 15d̄ = −2,11s_d = 10,2

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 16 metingen heeft gemiddelde 52,7. De standaardafwijking van de populatie is 12. Bereken de bovengrens U van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 52,7σ = 12n = 1695%

U =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 30Σy = 276Σx² = 220Σy² = 15514Σxy = 1760

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (3, 54) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(3, 54)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 15,69

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 158/5 = 31,6

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 21,4² + 6,4² + (−18,6)² + 2,4² + (−11,6)² = 985,2

Standaardafwijking

s = √(985,2/4) = 15,69

Antwoord

s = 15,69

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,8944

Standaardiseren

z = 1,25

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Antwoord

P = 0,8944

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 1,94

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 1·0,15 + 2·0,1 + 3·0,25 + 4·0,2 + 5·0,3 = 3,4

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,1 + 9·0,25 + 16·0,2 + 25·0,3 = 13,5

Variantie

Var(X) = 13,5 − 3,4² = 1,94

Antwoord

Var(X) = 1,94

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,2568

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binomiale formule

P(X = 3) = 165·0,3³·0,7⁸ = 165·0,027·0,05765 = 0,2568

Antwoord

P = 0,2568

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 0,37

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = (1 + 0,2886)/2 = 0,6443

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,6443 in de tabel en lees z af.

z = 0,37

Antwoord

z = 0,37

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 251,3 g

Oppervlak links

Φ(z) = 0,6

z uit de tabel

z ≈ 0,25

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 250 + 0,25·5 = 251,3 g

Antwoord

x = 251,3 g

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 3,72

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 8, t = 1,86

Foutmarge

E = 1,86·6/√9 = 3,72

Antwoord

E = 3,72

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 1641

n oplossen

n = (1,96·31/1,5)² = 1641

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 1641

Antwoord

n = 1641

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −0,8012

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 10,2/√15 = 2,634

Toetsingsgrootheid

t = −2,11/2,634 = −0,8012

Antwoord

t = −0,8012

Bij df = 14 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,145; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: U = 58,58

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Foutmarge

E = 1,96·12/√16 = 5,88

Intervalgrens

U = 52,7 + 5,88 = 58,58

Antwoord

U = 58,58

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9848

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 1760 − 30·276/5 = 104

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 15514 − 276²/5 = 278,8

Correlatiecoëfficiënt

r = 104/√(40·278,8) = 0,9848

Antwoord

r = 0,9848

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −3,295

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 496/6 = 82,67

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 444

Regressielijn

b = 444/70 = 6,343

a = 82,67 − 6,343·7 = 38,27

ŷ = 38,27 + 6,343·x

Voorspelde waarde

ŷ = 38,27 + 6,343·3 = 57,3

Residu

e = 54 − 57,3 = −3,295

Antwoord

e = −3,295

Het punt ligt onder de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1