Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 49, 51, 53, 38, 43, 30, 58.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 12. Welk deel P van de waarden ligt boven 67,2?

μ = 60σ = 12x = 67,2

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,35, 0,1, 0,2, 0,1

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

Een spel kost €2 inzet. Je wint €10 met kans 0,1 en €100 met kans 0,05; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €2€10: p = 0,1€100: p = 0,05

E(G) = €

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,9292 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,9292

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 40% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 100 puntenσ = 15 punten40%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 6 items heeft gemiddelde 11,5 en standaardafwijking s = 9,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 6x̄ = 11,5s = 9,590%t(5) = 2,015

ondergrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 18. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft?

σ = 18E = 399%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 500 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 5. Een aselecte steekproef van 100 waarnemingen heeft een gemiddelde van 501,15. Toets H₀: μ = 500 tegen H₁: μ > 500. Bereken de p-waarde p.

μ₀ = 500σ = 5n = 100x̄ = 501,15H₁: μ > μ₀

p =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft? De standaardafwijking is 20. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 20E = 199%

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 5

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (25,5, 117) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(25,5, 117)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 9,626

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 322/7 = 46

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 3² + 5² + 7² + (−8)² + (−3)² + (−16)² + 12² = 556

Standaardafwijking

s = √(556/6) = 9,626

Antwoord

s = 9,626

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,2743

Standaardiseren

z = 0,6

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Antwoord

P = 0,2743

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 1,748

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 1·0,25 + 2·0,35 + 3·0,1 + 4·0,2 + 5·0,1 = 2,55

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,35 + 9·0,1 + 16·0,2 + 25·0,1 = 8,25

Variantie

Var(X) = 8,25 − 2,55² = 1,748

Antwoord

Var(X) = 1,748

4.Kansrekening

Antwoord: E(G) = 4 €

Netto-uitkomsten

G: 8 (p = 0,1), 98 (p = 0,05), −2 (p = 0,85)

Verwachtingswaarde

E(G) = 8·0,1 + 98·0,05 − 2·0,85 = 4 €

Antwoord

E(G) = 4 €

Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.

5.Normale verdeling

Antwoord: z = −1,47

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,9292 = 0,0708

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,0708 in de tabel en lees z af.

z = −1,47

Antwoord

z = −1,47

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 103,8 punten

Oppervlak links

Φ(z) = 0,6

z uit de tabel

z ≈ 0,25

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 100 + 0,25·15 = 103,8 punten

Antwoord

x = 103,8 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 3,685

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 5, t = 2,015

Foutmarge

E = 2,015·9,5/√6 = 7,815

Interval

11,5 ± 7,815 → [3,685, 19,31]

Antwoord

ondergrens = 3,685

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 239

n oplossen

n = (2,576·18/3)² = 238,9

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 239

Antwoord

n = 239

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: p = 0,01072

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Toetsingsgrootheid

SE = σ/√n = 5/√100 = 0,5

z = (501,15 − 500)/0,5 = 2,3

Staartoppervlakte

Φ(2,3) = 0,9893

1 − Φ(2,3) = 0,0107

p-waarde

p = 0,01072

Antwoord

p = 0,01072

p ≤ 0,05, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 2655

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

n oplossen

n = (2,576·20/1)² = 2654

Naar boven afronden

n = 2655

Antwoord

n = 2655

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,885

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 234/5 = 46,8

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 406,8

Determinatiecoëfficiënt

r² = 60²/(10·406,8) = 0,885

Antwoord

r² = 0,885

Ongeveer 88,5% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 4,85

Gemiddelden

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 523/5 = 104,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 453

Regressielijn

b = 453/90 = 5,033

a = 104,6 − 5,033·24 = −16,2

ŷ = −16,2 + 5,033·x

Voorspelde waarde

ŷ = −16,2 + 5,033·25,5 = 112,1

Residu

e = 117 − 112,1 = 4,85

Antwoord

e = 4,85

Het punt ligt boven de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1