Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 47, 47, 33, 26, 39.

n = 5

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 25. Welk deel P van de waarden ligt boven 487,5?

μ = 500σ = 25x = 487,5

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,1, 0,25, 0,35, 0,3

σ =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 9 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,1. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 9p = 0,1

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

X is normaal verdeeld met gemiddelde 12 min en standaardafwijking 1,5 min; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 20 min en standaardafwijking 2 min. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 34 min. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 34 min

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Bereken de waarde x waaronder 5% ervan ligt (het 5e percentiel).

μ = 100σ = 15P = 5%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 25 items heeft gemiddelde 36,5 en standaardafwijking s = 19. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 25x̄ = 36,5s = 1990%t(24) = 1,711

bovengrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De diameters van 10 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 8,3 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 9 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 2,7 en 2,5% boven 19,023.

n = 10s = 8,3 µmχ² = 2,7, 19,023

σ = µm

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 81 studenten heeft een gemiddelde score van 47 en een steekproefstandaardafwijking van 15. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 47s = 15n = 81

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,01 moet een verschuiving van het gemiddelde van 2 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 80 %. De standaardafwijking is 12. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,01onderscheidend vermogen = 80%δ = 2σ = 12z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 30Σy = 108Σx² = 220Σy² = 2866Σxy = 794

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 74?

n = 6ŷ = 74

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 9,099

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 192/5 = 38,4

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 8,6² + 8,6² + (−5,4)² + (−12,4)² + 0,6² = 331,2

Standaardafwijking

s = √(331,2/4) = 9,099

Antwoord

s = 9,099

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,6915

Standaardiseren

z = −0,5

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Antwoord

P = 0,6915

3.Kansrekening

Antwoord: σ = 0,9631

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,1 + 1·0,25 + 2·0,35 + 3·0,3 = 1,85

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,1 + 1·0,25 + 4·0,35 + 9·0,3 = 4,35

Variantie

Var(X) = 4,35 − 1,85² = 0,9275

σ = √0,9275 = 0,9631

Antwoord

σ = 0,9631

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,7748

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,9⁹ = 0,3874

P(X = 1) = 9·0,1·0,9⁸ = 0,3874

Tel ze op

P = 0,3874 + 0,3874 = 0,7748

Antwoord

P = 0,7748

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,2119

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van de som

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Standaardiseren

z = (34 − 32)/2,5 = 0,8

Rechterstaart

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Antwoord

P = 0,2119

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 75,33 punten

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Terug naar x

x = 100 + −1,645·15 = 75,33 punten

Antwoord

x = 75,33 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 43

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 24, t = 1,711

Foutmarge

E = 1,711·19/√25 = 6,502

Interval

36,5 ± 6,502 → [30, 43]

Antwoord

bovengrens = 43

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: σ = 5,709 µm

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 9·8,3² = 620

Grenzen voor σ²

620/19,023 = 32,59

620/2,7 = 229,6

Grens voor σ

σ = √32,59 = 5,709 µm

Antwoord

σ = 5,709 µm

95%-interval voor σ: [5,709, 15,15] µm.

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −1,8

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 15/√81 = 15/9 = 1,667

Toetsingsgrootheid

t = (47 − 50)/1,667 = −1,8

Antwoord

t = −1,8

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 362

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((2,326 + 0,842)·12/2)² = 361,3

Naar boven afronden

n = 362

Antwoord

n = 362

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9997

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 794 − 30·108/5 = 146

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 2866 − 108²/5 = 533,2

Correlatiecoëfficiënt

r = 146/√(40·533,2) = 0,9997

Antwoord

r = 0,9997

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 4,601

Gemiddelden

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 440/6 = 73,33

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116

Regressielijn

b = 116/17,5 = 6,629

a = 73,33 − 6,629·4,5 = 43,5

ŷ = 43,5 + 6,629·x

Los op naar x

x = (74 − 43,5)/6,629 = 4,601

Antwoord

x = 4,601

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1