Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 19, 49, 40, 31, 31, 27.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 12. Welk deel P van de waarden ligt onder 64,8?

μ = 60σ = 12x = 64,8

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 2 personen kiezen uit een groep van 8? De volgorde doet er niet toe.

n = 8k = 2

N =

4.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 7 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,1. Wat is de kans P op precies 1 goede antwoorden?

n = 7p = 0,1k = 1

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,9090 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,9090

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,02 mm en standaardafwijking 0,015 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,01 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.

gat: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 12 items heeft gemiddelde 104 en standaardafwijking s = 1,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 12x̄ = 104s = 1,595%t(11) = 2,201

ondergrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 34. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft?

σ = 34E = 395%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 49 studenten heeft een gemiddelde score van 101,5 en een steekproefstandaardafwijking van 5. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 101,5s = 5n = 49

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 81 metingen heeft gemiddelde 50,7. De standaardafwijking van de populatie is 4. Bereken de bovengrens U van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 50,7σ = 4n = 8199%

U =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 6

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (16, 51) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(16, 51)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 10,44

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 197/6 = 32,83

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−13,83)² + 16,17² + 7,167² + (−1,833)² + (−1,833)² + (−5,833)² = 544,8

Standaardafwijking

s = √(544,8/5) = 10,44

Antwoord

s = 10,44

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,6554

Standaardiseren

z = 0,4

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Antwoord

P = 0,6554

3.Kansrekening

Antwoord: N = 28

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(8, 2) = (8·7)/(2·1) = 28

Antwoord

N = 28

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,372

Binomiale formule

P(X = 1) = 7·0,1¹·0,9⁶ = 7·0,1·0,5314 = 0,372

Antwoord

P = 0,372

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 1,69

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = (1 + 0,9090)/2 = 0,9545

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,9545 in de tabel en lees z af.

z = 1,69

Antwoord

z = 1,69

6.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,8665

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het verschil

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm

Standaardiseren

z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11

Kansrekening

P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665

Antwoord

P = 0,8665

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 103

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 11, t = 2,201

Foutmarge

E = 2,201·1,5/√12 = 0,9531

Interval

104 ± 0,9531 → [103, 105]

Antwoord

ondergrens = 103

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 494

n oplossen

n = (1,96·34/3)² = 493,4

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 494

Antwoord

n = 494

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 2,1

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143

Toetsingsgrootheid

t = (101,5 − 100)/0,7143 = 2,1

Antwoord

t = 2,1

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: U = 51,84

Foutmarge

E = 2,576·4/√81 = 1,145

Intervalgrens

U = 50,7 + 1,145 = 51,84

Antwoord

U = 51,84

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9242

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 75/6 = 12,5

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 99

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 151,5

Determinatiecoëfficiënt

r² = 99²/(70·151,5) = 0,9242

Antwoord

r² = 0,9242

Ongeveer 92,42% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −3,2

Gemiddelden

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 316/5 = 63,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120

Regressielijn

b = 120/40 = 3

a = 63,2 − 3·19 = 6,2

ŷ = 6,2 + 3·x

Voorspelde waarde

ŷ = 6,2 + 3·16 = 54,2

Residu

e = 51 − 54,2 = −3,2

Antwoord

e = −3,2

Het punt ligt onder de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1