Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 12, 54, 44, 28, 30.

n = 5

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 10. Bereken de z-score z van een score van 112,5.

μ = 100σ = 10x = 112,5

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,1, 0,3, 0,3

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

Een spel kost €2 inzet. Je wint €4 met kans 0,3 en €100 met kans 0,02; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €2€4: p = 0,3€100: p = 0,02

E(G) = €

5.Normale verdelingGemiddeld

De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Welk deel ligt tussen 462 en 520 h? Geef P als decimaal getal.

μ = 500σ = 40x₁ = 462x₂ = 520

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Bereken de waarde x waaronder 10% ervan ligt (het 10e percentiel).

μ = 100σ = 15P = 10%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 10 items heeft gemiddelde 50,5 en standaardafwijking s = 3,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 10x̄ = 50,5s = 3,599%t(9) = 3,25

E =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 9 proefvelden, gemiddelde opbrengst 15,5 kg, standaardafwijking 8,5 kg. Groep 2: 5 proefvelden, gemiddelde 4,5 kg, standaardafwijking 8,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 15,5s₁ = 8,5n₂ = 5x̄₂ = 4,5s₂ = 8,595%t(12) = 2,179

ondergrens = kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 81 studenten heeft een gemiddelde score van 48,5 en een steekproefstandaardafwijking van 15. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 48,5s = 15n = 81

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

In een onderzoek herstellen 83 van de 150 patiënten met behandeling A en 183 van de 300 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 83n₁ = 150x₂ = 183n₂ = 300

z =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 15Σy = 251Σx² = 55Σy² = 12929Σxy = 809

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 62?

n = 6ŷ = 62

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 16,09

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 168/5 = 33,6

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−21,6)² + 20,4² + 10,4² + (−5,6)² + (−3,6)² = 1035

Standaardafwijking

s = √(1035/4) = 16,09

Antwoord

s = 16,09

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 1,25

Standaardiseren

z = (112,5 − 100)/10 = 1,25

Antwoord

z = 1,25

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 1,44

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,3 + 1·0,1 + 2·0,3 + 3·0,3 = 1,6

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,1 + 4·0,3 + 9·0,3 = 4

Variantie

Var(X) = 4 − 1,6² = 1,44

Antwoord

Var(X) = 1,44

4.Kansrekening

Antwoord: E(G) = 1,2 €

Netto-uitkomsten

G: 2 (p = 0,3), 98 (p = 0,02), −2 (p = 0,68)

Verwachtingswaarde

E(G) = 2·0,3 + 98·0,02 − 2·0,68 = 1,2 €

Antwoord

E(G) = 1,2 €

Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,5204

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (462 − 500)/40 = −0,95

z₂ = (520 − 500)/40 = 0,5

Oppervlakte ertussen

P = Φ(0,5) − Φ(−0,95) = 0,6915 − 0,1711 = 0,5204

Antwoord

P = 0,5204

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 80,78 punten

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Terug naar x

x = 100 + −1,282·15 = 80,78 punten

Antwoord

x = 80,78 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 3,597

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 9, t = 3,25

Foutmarge

E = 3,25·3,5/√10 = 3,597

Antwoord

E = 3,597

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 0,6692 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (8·8,5² + 4·8,5²)/12 = 72,25

s_p = 8,5

Foutmarge

E = 2,179·8,5·√(1/9 + 1/5) = 10,33

Interval

11 ± 10,33 → [0,6692, 21,33]

Antwoord

ondergrens = 0,6692 kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −0,9

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 15/√81 = 15/9 = 1,667

Toetsingsgrootheid

t = (48,5 − 50)/1,667 = −0,9

Antwoord

t = −0,9

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = −1,153

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Steekproeffracties

p̂₁ = 83/150 = 0,5533

p̂₂ = 183/300 = 0,61

p̂ = 266/450 = 0,5911

Standaardfout onder H₀

SE = √(0,5911·0,4089·(1/150 + 1/300)) = 0,04916

Toetsingsgrootheid

z = (0,5533 − 0,61)/0,04916 = −1,153

Antwoord

z = −1,153

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9766

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 809 − 15·251/5 = 56

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 12929 − 251²/5 = 328,8

Correlatiecoëfficiënt

r = 56/√(10·328,8) = 0,9766

Antwoord

r = 0,9766

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 3,035

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 545/6 = 90,83

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 509

Regressielijn

b = 509/70 = 7,271

a = 90,83 − 7,271·7 = 39,93

ŷ = 39,93 + 7,271·x

Los op naar x

x = (62 − 39,93)/7,271 = 3,035

Antwoord

x = 3,035

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1