Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 34, 32, 59, 18, 26, 39.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 40. Welk deel P van de waarden ligt boven 480?

μ = 500σ = 40x = 480

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,2, 0,05, 0,35, 0,2

σ =

4.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = −2X + 5. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = −2X + 5

σ_Y =

5.Normale verdelingGemiddeld

X is normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 4 g; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 500 g en standaardafwijking 9 g. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 754,9 g. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 754,9 g

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Bereken de waarde x waaronder 20% ervan ligt (het 20e percentiel).

μ = 65σ = 10P = 20%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 25 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 4. Wat is de foutmarge E₂ van een 99%-interval uit dezelfde data?

90%n₁ = 25E₁ = 499%

E₂ =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een vooronderzoek wijst erop dat ongeveer 0,1 van de producten defect is. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,025 heeft?

p ≈ 0,1E = 0,02599%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

8 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is 2,51 en de standaardafwijking van de verschillen is 7,1. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μ_d = 0.

n = 8d̄ = 2,51s_d = 7,1

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 0,5 heeft? De standaardafwijking is 15. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 15E = 0,599%

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6Σx = 33Σy = 337Σx² = 199Σy² = 19141Σxy = 1910

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (1,5, 39) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(1,5, 39)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 13,94

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 208/6 = 34,67

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−0,6667)² + (−2,667)² + 24,33² + (−16,67)² + (−8,667)² + 4,333² = 971,3

Standaardafwijking

s = √(971,3/5) = 13,94

Antwoord

s = 13,94

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,6915

Standaardiseren

z = −0,5

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Antwoord

P = 0,6915

3.Kansrekening

Antwoord: σ = 1,459

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,2 + 1·0,2 + 2·0,05 + 3·0,35 + 4·0,2 = 2,15

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,2 + 4·0,05 + 9·0,35 + 16·0,2 = 6,75

Variantie

Var(X) = 6,75 − 2,15² = 2,128

σ = √2,128 = 1,459

Antwoord

σ = 1,459

4.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 1,673

Spreiding van X

μ = 1, Var(X) = 0,7, σ_X = 0,8367

Lineaire transformatie

σ_Y = |−2|·0,8367 = 1,673

Antwoord

σ_Y = 1,673

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = −2·1 + 5 = 3.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,3085

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van de som

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standaardiseren

z = (754,9 − 750)/9,849 = 0,5

Rechterstaart

P = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085

Antwoord

P = 0,3085

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 56,58 punten

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Terug naar x

x = 65 + −0,8416·10 = 56,58 punten

Antwoord

x = 56,58 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E₂ = 6,264

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Verhouding van de marges

E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(25/25) = 1,566

Nieuwe marge

E₂ = 4·1,566 = 6,264

Antwoord

E₂ = 6,264

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 956

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n oplossen

n = 2,576²·0,1·0,9/0,025² = 955,6

Naar boven afronden

n = 956

Antwoord

n = 956

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 0,9999

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 7,1/√8 = 2,51

Toetsingsgrootheid

t = 2,51/2,51 = 0,9999

Antwoord

t = 0,9999

Bij df = 7 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,365; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 5973

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

n oplossen

n = (2,576·15/0,5)² = 5972

Naar boven afronden

n = 5973

Antwoord

n = 5973

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9258

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 1910 − 33·337/6 = 56,5

S_xx = 199 − 33²/6 = 17,5

S_yy = 19141 − 337²/6 = 212,8

Correlatiecoëfficiënt

r = 56,5/√(17,5·212,8) = 0,9258

Antwoord

r = 0,9258

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 3,2

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 218/5 = 43,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52

Regressielijn

b = 52/10 = 5,2

a = 43,6 − 5,2·3 = 28

ŷ = 28 + 5,2·x

Voorspelde waarde

ŷ = 28 + 5,2·1,5 = 35,8

Residu

e = 39 − 35,8 = 3,2

Antwoord

e = 3,2

Het punt ligt boven de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1