Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 58, 39, 46, 33, 41, 20.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 5. Welk deel P van de waarden ligt boven 177,5?

μ = 170σ = 5x = 177,5

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,05, 0,3, 0,2, 0,35

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

Een spel kost €3 inzet. Je wint €9 met kans 0,2 en €30 met kans 0,05; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €3€9: p = 0,2€30: p = 0,05

E(G) = €

5.Normale verdelingGemiddeld

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Welk deel ligt tussen 242 en 257,75 g? Geef P als decimaal getal.

μ = 250σ = 5x₁ = 242x₂ = 257,75

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Bereken de waarde x waaronder 80% ervan ligt (het 80e percentiel).

μ = 65σ = 10P = 80%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 7 items heeft gemiddelde 100 en standaardafwijking s = 17,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 7x̄ = 100s = 17,595%t(6) = 2,447

E =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een vooronderzoek wijst erop dat ongeveer 0,3 van de producten defect is. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,01 heeft?

p ≈ 0,3E = 0,0190%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 17 studenten, gemiddelde score 37,5, standaardafwijking 7,5. Groep 2: 9 studenten, gemiddelde score 41,5, standaardafwijking 3,5. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).

n₁ = 17x̄₁ = 37,5s₁ = 7,5n₂ = 9x̄₂ = 41,5s₂ = 3,5

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 0,5 heeft? De standaardafwijking is 12. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 12E = 0,590%

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6Σx = 21Σy = 123Σx² = 91Σy² = 2605Σxy = 396

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (5, 14) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(5, 14)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 12,72

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 237/6 = 39,5

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 18,5² + (−0,5)² + 6,5² + (−6,5)² + 1,5² + (−19,5)² = 809,5

Standaardafwijking

s = √(809,5/5) = 12,72

Antwoord

s = 12,72

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,06681

Standaardiseren

z = 1,5

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Antwoord

P = 0,06681

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 1,627

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 1·0,1 + 2·0,05 + 3·0,3 + 4·0,2 + 5·0,35 = 3,65

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,05 + 9·0,3 + 16·0,2 + 25·0,35 = 14,95

Variantie

Var(X) = 14,95 − 3,65² = 1,627

Antwoord

Var(X) = 1,627

4.Kansrekening

Antwoord: E(G) = 0,3 €

Netto-uitkomsten

G: 6 (p = 0,2), 27 (p = 0,05), −3 (p = 0,75)

Verwachtingswaarde

E(G) = 6·0,2 + 27·0,05 − 3·0,75 = 0,3 €

Antwoord

E(G) = 0,3 €

Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,8846

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (242 − 250)/5 = −1,6

z₂ = (257,75 − 250)/5 = 1,55

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,55) − Φ(−1,6) = 0,9394 − 0,0548 = 0,8846

Antwoord

P = 0,8846

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 73,42 punten

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Terug naar x

x = 65 + 0,8416·10 = 73,42 punten

Antwoord

x = 73,42 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 16,19

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 6, t = 2,447

Foutmarge

E = 2,447·17,5/√7 = 16,19

Antwoord

E = 16,19

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 5683

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n oplossen

n = 1,645²·0,3·0,7/0,01² = 5683

Naar boven afronden

n = 5683

Antwoord

n = 5683

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −1,505

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolde variantie

s_p² = (16·7,5² + 8·3,5²)/24 = 41,58

s_p = 6,449

Standaardfout

SE = 6,449·√(1/17 + 1/9) = 2,658

Toetsingsgrootheid

t = (37,5 − 41,5)/2,658 = −1,505

Antwoord

t = −1,505

Bij df = 24 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,064; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 1559

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

n oplossen

n = (1,645·12/0,5)² = 1559

Naar boven afronden

n = 1559

Antwoord

n = 1559

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = −0,9025

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 396 − 21·123/6 = −34,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 2605 − 123²/6 = 83,5

Correlatiecoëfficiënt

r = −34,5/√(17,5·83,5) = −0,9025

Antwoord

r = −0,9025

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 2,65

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 62/5 = 12,4

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 42

Regressielijn

b = 42/40 = 1,05

a = 12,4 − 1,05·6 = 6,1

ŷ = 6,1 + 1,05·x

Voorspelde waarde

ŷ = 6,1 + 1,05·5 = 11,35

Residu

e = 14 − 11,35 = 2,65

Antwoord

e = 2,65

Het punt ligt boven de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1