Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
X is normaal verdeeld met gemiddelde 120 mm en standaardafwijking 0,3 mm; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 80 mm en standaardafwijking 0,4 mm. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 200,5 mm. Rond z af op twee decimalen.
De massa X van een product van lijn 1 en Y van lijn 2 zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 500 g en standaardafwijking 8 g, Y heeft gemiddelde 490 g en standaardafwijking 6 g. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.
Een steekproef van 21 items heeft gemiddelde 118,5 en standaardafwijking s = 18. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
De standaardafwijking van de populatie is 13. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft?
Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 100 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 12. Een aselecte steekproef van 36 waarnemingen heeft een gemiddelde van 97,36. Toets H₀: μ = 100 tegen H₁: μ ≠ 100. Bereken de p-waarde p.
Een steekproef van 81 metingen heeft gemiddelde 501,5. De standaardafwijking van de populatie is 12. Bereken de bovengrens U van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 49?
De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.
Een chikwadraat-aanpassingstoets controleert of aantallen in 8 categorieën een Poissonverdeling volgen waarvan het gemiddelde uit dezelfde data is geschat. Hoeveel vrijheidsgraden df heeft de toets?
Antwoord: P = 0,1587
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Antwoord: P = 0,8413
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Antwoord: E = 8,194
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Antwoord: n = 73
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
Antwoord: p = 0,1868
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
p > 0,05, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau.
Antwoord: U = 504,1
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Antwoord: r² = 0,9546
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Ongeveer 95,46% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
Antwoord: x = 19,38
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Antwoord: χ² = 14,53
Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.
df = 2. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 5,991, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt verworpen.
Antwoord: df = 6
Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference