Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,0778 is. Bepaal z op twee decimalen.
De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 80% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
Een steekproef van 15 items heeft gemiddelde 61 en standaardafwijking s = 3,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
De standaardafwijking van de populatie is 33. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 4 heeft?
Een steekproef van 25 studenten heeft een gemiddelde score van 193,8 en een steekproefstandaardafwijking van 10. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 200.
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2 heeft? De standaardafwijking is 12. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 18.
De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.
Er wordt een chikwadraattoets op onafhankelijkheid uitgevoerd op een kruistabel met 3 rijen en 3 kolommen (de totalen niet meegeteld). Zoek met de tabel de kritieke waarde χ²crit bij significantieniveau α = 0,01.
Antwoord: z = 1,42
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Zoek 0,9222 in de tabel en lees z af.
Antwoord: x = 112,6 punten
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Antwoord: bovengrens = 62,59
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Antwoord: n = 262
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
Antwoord: t = −3,1
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
|t| > 2,064, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
Antwoord: n = 139
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Antwoord: r = −0,9791
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Antwoord: ŷ = 82
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Antwoord: χ² = 5,051
Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.
df = 1. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 3,841, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt verworpen.
Antwoord: χ²crit = 13,28
Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.
Verwerp H₀ als de berekende χ² groter is dan deze waarde.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference