Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Welk deel ligt tussen 85,75 en 103 punten? Geef P als decimaal getal.
De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 25% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
De bloeddruk van 6 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde −9,3 en standaardafwijking 2,4. Bereken de foutmarge E van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.
De diameters van 10 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 0,7 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de bovengrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 9 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 2,7 en 2,5% boven 19,023.
Een steekproef van 49 studenten heeft een gemiddelde score van 51,71 en een steekproefstandaardafwijking van 10. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 50.
Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 200 tegen H₁: μ > 200 wordt uitgevoerd bij α = 0,01 met een steekproef van 64; de standaardafwijking is bekend en is 12. In werkelijkheid is het gemiddelde 202,25. Bereken het onderscheidend vermogen 1 − β van de toets in procenten.
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 110?
De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken voor een chikwadraattoets op onafhankelijkheid het verwachte aantal E voor de cel “landelijk, hoog”.
De tabel toont waargenomen aantallen. Toets bij α = 0,01 of de twee variabelen onafhankelijk zijn (zonder continuïteitscorrectie). Bereken de toetsingsgrootheid χ² en vergelijk die daarna met de kritieke waarde uit de tabel.
Antwoord: P = 0,4082
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
Antwoord: x = 253,4 g
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Antwoord: E = 3,951 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Antwoord: σ = 1,278 µm
Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.
95%-interval voor σ: [0,4815, 1,278] µm.
Antwoord: t = 1,197
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
|t| < 2.011, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
Antwoord: 1 − β = 20,44 %
Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Antwoord: r² = 0,9197
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Ongeveer 91,97% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
Antwoord: x = 19,95
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Antwoord: E = 35,36
Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.
Antwoord: χ² = 36
Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.
χ² ligt boven de kritieke waarde, dus H₀ wordt verworpen: de variabelen lijken samen te hangen.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference