Constructieleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Oplegreacties van balken

Evenwicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Moment
M = F·d

Methode

  1. Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
  2. Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
  3. Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
  4. Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
  2. Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
  3. Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
  4. Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Snedemethode
ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht
positief = trek, negatief = druk

Methode

  1. Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
  2. Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣFx = 0 en ΣFy = 0.
  3. Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
  4. Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden
δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten
δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast
δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting
δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie
δ = δ1 + δ2

Knik van kolommen

Eulerse kniklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor
K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning
σcr = Pcr/A
Slankheid
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Oplegreacties van balkenGemiddeld
P1​ = 55 kNP2​ = 10 kNABRA​ = ?RB​5 m2 m3 m

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RA.

L = 10 mP1 = 55 kN op 5 mP2 = 10 kN op 7 m
RA = kN
2.Oplegreacties van balkenMoeilijk
w = 6 kN/mP = 15 kNABRA​RB​ = ?4 m1 m

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RB.

L = 5 mP = 15 kN op 4 mw = 6 kN/m van 0 tot 4 m
RB = kN
3.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
M0​ = 10 kN·mAB5 m1 m

De vrij opgelegde balk draagt een rechtsdraaiend koppel M0 = 10 kN·m op x = 5 m vanaf A, en verder geen belasting. Vind het buigend moment Mx net links van het koppel. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6 mM0 = 10 kN·m rechtsom, op 5 m
Mx = kN·m
4.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
w = 5 kN/mP = 20 kNABdoorsnede3 m7 m

Vind het buigend moment Mx in de doorsnede x = 3 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 10 mP = 20 kN op 3 mw = 5 kN/m van 0 tot 10 mx = 3 m
Mx = kN·m
5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld
ABBCACACB25 kN8 m1 m2 m

Gebruik de knopenmethode om de kracht FAC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 8 mhoogte = 2 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 25 kN
FAC = kN
6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk
ABBCACACB60 kN30 kN6 m1 m3 m

Gebruik de knopenmethode om de kracht FAB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 6 mhoogte = 3 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 60 kNhorizontale belasting = 30 kN ←
FAB = kN
7.Doorbuiging van de balkGemiddeld
w = 4 kN/mP = 4 kNABδ1,5 m

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P aan het vrije uiteinde. Vind met superpositie de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

P = 4 kNw = 4 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Doorbuiging van de balkMoeilijk
P = 30 kNP = 30 kNABδ2,667 m2,666 m2,667 m

Een vrij opgelegde balk draagt twee gelijke puntlasten P op de derdepunten (L/3 vanaf elke oplegging). Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δmax.

P = 30 kNL = 8 mE = 200 GPa (staal)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Knik van kolommenGemiddeld
PL = 2 md = 50 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Knik van kolommenMoeilijk
P = 5 kNL = 1,5 md = ?doorsnede

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Hij moet 5 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 5 kNn = 3L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Oplossingen

1.Oplegreacties van balken

Antwoord: RA = 30,5 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

P1​ = 55 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​5 m2 m3 m

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣMA = 0: RB·10 = 55·5 + 10·7
RB = 345/10 = 34,5 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 34,5 = 30,5 kN

Antwoord

RA = 30,5 kN
2.Oplegreacties van balken

Antwoord: RB = 21,6 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

w = 6 kN/mP = 15 kNABRA​RB​4 m1 m

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·5 = 15·4 + 6·4·2
RB = 108/5 = 21,6 kN
ΣFy = 0: RA = 39 − 21,6 = 17,4 kN

Antwoord

RB = 21,6 kN
3.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: Mx = −8,333 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Een uitwendig koppel laat de momentenlijn verspringen met de grootte van het koppel.

Oplegreacties

Momenten om A, linksom positief: RB·L − M0 = 0. Verticaal evenwicht: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 10/6 = 1,667 kN (omhoog)
RA = −RB = −1,667 kN (omlaag)

Snede net links van het koppel

Het linkerdeel bevat alleen RA.

Mx = RA·a = −1,667·5 = −8,333 kN·m

Antwoord

Mx = −8,333 kN·m
4.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: Mx = 94,5 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, aangrijpend op x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 20·3 + 5·10·5
RB = 310/10 = 31 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 31 = 39 kN
w = 5 kN/mP = 20 kNABRA​ = 39RB​ = 31doorsnede3 m7 m

Snijd bij x = 3 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = RA·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)
Mx = 39·3 − 5·3·1,5 = 94,5 kN·m

Antwoord

Mx = 94,5 kN·m
5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: FAC = 10,94 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣMA = 0: Cy·8 = 25·1 → Cy = 3,125 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 3,125 = 21,88 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 2/7,28 = 0,2747, cos γ = 7/7,28 = 0,9615
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −3,125/0,2747 = −11,38 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−11,38)·0,9615 = 10,94 kN

Antwoord

FAC = 10,94 kN (trek)
6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: FAB = −68,52 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

ABBCACACB60 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣMA = 0: Cy·6 = 60·1 − 30·3 → Cy = −5 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − −5 = 65 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

Knoop A

Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −65/0,9487 = −68,52 kN

Antwoord

FAB = −68,52 kN (druk)
7.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 5,327 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 4000 N, w = 4 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δP = PL³/(3EI) = 4000·1500³/(3·1,32 × 10¹²) = 3,409 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 4·1500⁴/(8·1,32 × 10¹²) = 1,918 mm

Tel ze op

δ = 3,409 + 1,918 = 5,327 mm

Antwoord

δ = 5,327 mm
8.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δmax = 32,45 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 30000 N, L = 8000 mm
EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Eén last op L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2667 mm
δ₁ = 16,23 mm

Tel beide lasten op

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 32,45 mm

Antwoord

δmax = 32,45 mm
9.Knik van kolommen

Antwoord: Pcr = 108,1 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritieke belasting

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1400² = 108141 N = 108,1 kN

Antwoord

Pcr = 108,1 kN
10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 44,67 mm

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Benodigde kritieke belasting

Pcr = n·P = 3·5000 = 15000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·15000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 44,67 mm

Antwoord

d = 44,67 mm

Controle: de slankheid KL/r is 268,7, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis