Constructieleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De balk heeft een scharnier in A en een rol in B, op 3 m van A, en steekt voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Vind de verticale reactie R_B, met omhoog positief.

AB = 3 mAC = 5 mP₁ = 30 kN op 2,5 mP₂ = 15 kN op 5 m

R_B = kN

2.Oplegreacties van balkenMoeilijk

De uitkragende ligger is in A in de muur ingeklemd. Hij draagt een lineair verlopende belasting die 8 kN/m is bij de muur en afloopt tot nul aan het vrije uiteinde B, plus een puntlast P op 5 m van de muur. Vind de grootte van het inklemmingsmoment M_A bij de muur.

L = 6 mw₀ = 8 kN/mP = 15 kN op 5 m

M_A = kN·m

3.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt een rechtsdraaiend koppel M₀ = 30 kN·m op x = 1 m vanaf A, en verder geen belasting. Vind het buigend moment M_x net rechts van het koppel. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mM₀ = 30 kN·m rechtsom, op 1 m

M_x = kN·m

4.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning en een puntlast P. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 8 mP = 25 kN op 4 mw = 2 kN/m van 0 tot 8 m

M_max = kN·m

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_BC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 5 mhoogte = 2 mB ligt 2 m van Averticale belasting = 60 kN

F_BC = kN

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 8 mhoogte = 4 mB ligt 3 m van Averticale belasting = 10 kNhorizontale belasting = 5 kN →

F_AB = kN

7.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger met lengte L is ingeklemd in A en draagt een puntlast P op een afstand a = 2 m vanaf A. Vind de doorbuiging δ_P onder de last.

P = 23 kNa = 2 mL = 3 mE = 200 GPa (staal)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment I_req dat aan deze eis voldoet.

w = 20 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 85 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 85 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Oplossingen

1.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_B = 50 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.

Momenten om A

Linksom positief.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 30·2,5 + 15·5

R_B = 150/3 = 50 kN

Verticaal evenwicht

R_A = 30 + 15 − 50 = −5 kN

Antwoord

R_B = 50 kN

R_A is negatief: het scharnier in A moet de balk naar beneden houden.

2.Oplegreacties van balken

Antwoord: M_A = 123 kN·m

Evenwicht van een uitkragende ligger: een inklemming kan omhoog duwen en ook rotatie tegenhouden, dus ze levert een verticale reactie R_A en een inklemmingsmoment M_A. ΣF_y = 0 geeft R_A, en momenten om de muur geven M_A = Σ(last × afstand tot de muur). Een verdeelde belasting werkt als haar resultante in het zwaartepunt van het belastingsdiagram.

Resultante van de driehoeksbelasting

W = ½·8·6 = 24 kN

x̄ = L/3 = 2 m

Moment om de muur

M_A = W·x̄ + P·a = 24·2 + 15·5 = 123 kN·m

Antwoord

M_A = 123 kN·m

3.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 24 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Een uitwendig koppel laat de momentenlijn verspringen met de grootte van het koppel.

Oplegreacties

Momenten om A, linksom positief: R_B·L − M₀ = 0. Verticaal evenwicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 30/5 = 6 kN (omhoog)

R_A = −R_B = −6 kN (omlaag)

Snede net rechts van het koppel

Het linkerdeel bevat nu R_A en het koppel.

M_x = R_A·a + M₀ = −6·1 + 30 = 24 kN·m

Antwoord

M_x = 24 kN·m

4.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 66 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, aangrijpend op x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·4 + 2·8·4

R_B = 164/8 = 20,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 41 − 20,5 = 20,5 kN

Waar is V = 0?

V(4⁻) = R_A − w·4 = 12,5 kN

V(4⁺) = 12,5 − 25 = −12,5 kN

De dwarskracht wisselt van teken bij de last, dus het maximum ligt onder de last.

Maximaal moment

M_max = R_A·4 − w·4²/2 = 20,5·4 − 2·4²/2 = 66 kN·m

Antwoord

M_max = 66 kN·m

Dat is op x = 4 m vanaf A.

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_BC = −43,27 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·2 → C_y = 24 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 24 = 36 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −24/0,5547 = −43,27 kN

Antwoord

F_BC = −43,27 kN (druk)

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AB = −4,688 kN

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 10·3 + 5·4 → C_y = 6,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 6,25 = 3,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

Knoop A

Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.

sin α = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −3,75/0,8 = −4,688 kN

Antwoord

F_AB = −4,688 kN (druk)

7.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_P = 25,56 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 23000 N, a = 2000 mm, L = 3000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging onder de last

δ_P = Pa³/(3EI) = 23000·2000³/(3·2,4 × 10¹²) = 25,56 mm

Antwoord

δ_P = 25,56 mm

8.Doorbuiging van de balk

Antwoord: I_req = 167,4 × 10⁶ mm⁴

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·5000⁴/(384·70000·13,89) = 1,674 × 10⁸ mm⁴

I_req = 167,4 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_req = 167,4 × 10⁶ mm⁴

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 11,75 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/1400² = 11750 N = 11,75 kN

Antwoord

P_cr = 11,75 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 128,3 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·85000 = 255000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·255000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 128,3 mm

Antwoord

d = 128,3 mm

Controle: de slankheid KL/r is 187,1, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis