Constructieleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De uitkragende ligger is in A in de muur ingeklemd. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 4 m van de muur. Vind de grootte van het inklemmingsmoment M_A bij de muur.

L = 5 mP = 15 kN op 4 mw = 12 kN/m van 0 tot 5 m

M_A = kN·m

2.Oplegreacties van balkenMoeilijk

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie R_A.

L = 8 mP = 25 kN op 7 mw = 5 kN/m van 5 tot 8 m

R_A = kN

3.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 2 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Hij draagt een puntlast P₁ tussen de opleggingen en een puntlast P₂ in C. Vind het buigend moment M_B bij oplegging B. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 8 mP₁ = 65 kN op 4 mP₂ = 20 kN op 8 mopleggingen bij x = 0 en x = 6 m

M_B = kN·m

4.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning en een puntlast P. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 10 mP = 60 kN op 7 mw = 4 kN/m van 0 tot 10 m

M_max = kN·m

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_BC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 6 mhoogte = 4 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 45 kN

F_BC = kN

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 6 mhoogte = 2 mB ligt 5 m van Averticale belasting = 30 kNhorizontale belasting = 20 kN ←

F_AB = kN

7.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment I_req dat aan deze eis voldoet.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (constructiehout)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 55 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 55 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Oplossingen

1.Oplegreacties van balken

Antwoord: M_A = 210 kN·m

Evenwicht van een uitkragende ligger: een inklemming kan omhoog duwen en ook rotatie tegenhouden, dus ze levert een verticale reactie R_A en een inklemmingsmoment M_A. ΣF_y = 0 geeft R_A, en momenten om de muur geven M_A = Σ(last × afstand tot de muur). Een verdeelde belasting werkt als haar resultante in het zwaartepunt van het belastingsdiagram.

Resultante van de verdeelde belasting

W = 12·5 = 60 kN, x̄ = 2,5 m

Moment om de muur

M_A = P·a + W·x̄ = 15·4 + 60·2,5 = 210 kN·m

Antwoord

M_A = 210 kN·m

2.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_A = 5,938 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 5·3 = 15 kN, aangrijpend op x̄ = 6,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·7 + 5·3·6,5

R_B = 272,5/8 = 34,06 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 34,06 = 5,938 kN

Antwoord

R_A = 5,938 kN

3.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_B = −40 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk. De last op het overstek levert ook een moment om A.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 65·4 + 20·8

R_B = 420/6 = 70 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 70 = 15 kN

Snede bij B, houd het overstek over

Op het overstek werkt alleen P₂, met arm a. Die buigt de balk boven de oplegging omhoog (opbuigend, hogging).

M_B = −P₂·a = −20·2 = −40 kN·m

Antwoord

M_B = −40 kN·m

4.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 168 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, aangrijpend op x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·7 + 4·10·5

R_B = 620/10 = 62 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 62 = 38 kN

Waar is V = 0?

V(7⁻) = R_A − w·7 = 10 kN

V(7⁺) = 10 − 60 = −50 kN

De dwarskracht wisselt van teken bij de last, dus het maximum ligt onder de last.

Maximaal moment

M_max = R_A·7 − w·7²/2 = 38·7 − 4·7²/2 = 168 kN·m

Antwoord

M_max = 168 kN·m

Dat is op x = 7 m vanaf A.

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_BC = −12,01 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·1 → C_y = 7,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 7,5 = 37,5 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −7,5/0,6247 = −12,01 kN

Antwoord

F_BC = −12,01 kN (druk)

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AB = −31,41 kN

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·5 − 20·2 → C_y = 18,33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 18,33 = 11,67 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Knoop A

Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.

sin α = 2/5,385 = 0,3714

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −11,67/0,3714 = −31,41 kN

Antwoord

F_AB = −31,41 kN (druk)

7.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 6,027 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·6000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 6,027 mm

Antwoord

δ_max = 6,027 mm

8.Doorbuiging van de balk

Antwoord: I_req = 51,14 × 10⁶ mm⁴

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·2000⁴/(384·11000·5,556) = 5,114 × 10⁷ mm⁴

I_req = 51,14 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_req = 51,14 × 10⁶ mm⁴

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 9,179 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/2800² = 9179 N = 9,179 kN

Antwoord

P_cr = 9,179 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 105 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·55000 = 165000 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 105 mm

Antwoord

d = 105 mm

Controle: de slankheid KL/r is 190,4, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis