Constructieleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De balk heeft een scharnier in A en een rol in B, op 5 m van A, en steekt voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Vind de verticale reactie R_A, met omhoog positief.

AB = 5 mAC = 8 mP₁ = 15 kN op 2 mP₂ = 10 kN op 8 m

R_A = kN

2.Oplegreacties van balkenMoeilijk

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Een last P werkt op 3,5 m van A, onder een hoek van 60° met de horizontaal, en een verticale last Q werkt op 1,5 m van A. Vind de hoek α tussen de totale reactiekracht in het scharnier A en de horizontaal.

L = 6 mP = 10 kN op 3,5 m, θ = 60°Q = 15 kN op 1,5 m

α = °

3.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind de dwarskracht V_x in de doorsnede x = 1 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mw = 8 kN/m van 0 tot 4 mx = 1 m

V_x = kN

4.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning en een puntlast P. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 10 mP = 40 kN op 6 mw = 5 kN/m van 0 tot 10 m

M_max = kN·m

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_BC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 6 mhoogte = 3 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 50 kN

F_BC = kN

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.

B: 25 kN ↓D: 40 kN ↓H: 30 kN ←

1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf FC
13staaf HC

7.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de hoekverdraaiing θ_A van de balk bij oplegging A, in radialen.

w = 15 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een puntlast P op b = 1,5 m vanaf oplegging B. Vind de doorbuiging δ_mid in het midden.

P = 9 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (staal)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_A = 3 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.

Momenten om A

Linksom positief.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·2 + 10·8

R_B = 110/5 = 22 kN

Verticaal evenwicht

R_A = 15 + 10 − 22 = 3 kN

Antwoord

R_A = 3 kN

2.Oplegreacties van balken

Antwoord: α = 71,4 °

Componenten van P

P_v = 10·sin 60° = 8,66 kN

P_h = 10·cos 60° = 5 kN

Reacties

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8,66·3,5 + 15·1,5 → R_B = 8,802 kN

A_y = 8,66 + 15 − 8,802 = 14,86 kN

A_x = P_h = 5 kN

Richting in A

α = atan(A_y/A_x) = atan(14,86/5) = 71,4°

Antwoord

α = 71,4°

3.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: V_x = 8 kN

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·4·2

R_B = 64/4 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Snijd bij x = 1 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

V = R_A − (alle neerwaartse belastingen links van de snede)

V_x = 16 − 8·1 = 8 kN

Antwoord

V_x = 8 kN

4.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 156 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, aangrijpend op x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·6 + 5·10·5

R_B = 490/10 = 49 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 49 = 41 kN

Waar is V = 0?

V(6⁻) = R_A − w·6 = 11 kN

V(6⁺) = 11 − 40 = −29 kN

De dwarskracht wisselt van teken bij de last, dus het maximum ligt onder de last.

Maximaal moment

M_max = R_A·6 − w·6²/2 = 41·6 − 5·6²/2 = 156 kN·m

Antwoord

M_max = 156 kN·m

Dat is op x = 6 m vanaf A.

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_BC = −16,2 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 50·1 → C_y = 8,333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 8,333 = 41,67 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8,333/0,5145 = −16,2 kN

Antwoord

F_BC = −16,2 kN (druk)

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: staaf CG

Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.

Knooppunt G

FG en GH liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen CG over.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Controleer met de knooppuntenmethode

Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).

AB: 15,83 kN (T), BC: 15,83 kN (T), CD: 40,83 kN (T), DE: 40,83 kN (T), FG: 58,33 kN (C), GH: 58,33 kN (C), AF: 57,29 kN (C), HE: 51,04 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), FC: 15,62 kN (T), HC: 15,62 kN (C)

Antwoord

Nulstaaf: CG

7.Doorbuiging van de balk

Antwoord: θ_A = 0,0381 rad

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie). De hoekverdraaiing θ = dv/dx is de eerste integraal van M/(EI); in consistente eenheden komt die uit in radialen.

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 8000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Eindhoekverdraaiing

θ_A = wL³/(24EI) = 15·8000³/(24·8,4 × 10¹²) = 0,0381 rad

Antwoord

θ_A = 0,0381 rad

Dat is 2,183°.

8.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_mid = 1,865 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 9000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging in het midden

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 9000·1500·(3·4000² − 4·1500²)/(48·5,88 × 10¹²) = 1,865 mm

Antwoord

δ_mid = 1,865 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 11,7 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/3000² = 11697 N = 11,7 kN

Antwoord

P_cr = 11,7 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 27,76 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7,5 = 266,7

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Antwoord

σ_cr = 27,76 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis