Constructieleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Oplegreacties van balken

Evenwicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Moment
M = F·d

Methode

  1. Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
  2. Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
  3. Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
  4. Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
  2. Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
  3. Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
  4. Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Snedemethode
ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht
positief = trek, negatief = druk

Methode

  1. Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
  2. Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣFx = 0 en ΣFy = 0.
  3. Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
  4. Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden
δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten
δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast
δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting
δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie
δ = δ1 + δ2

Knik van kolommen

Eulerse kniklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor
K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning
σcr = Pcr/A
Slankheid
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Oplegreacties van balkenGemiddeld
P1​ = 35 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​ = ?2 m1,5 m2,5 m

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RB.

L = 6 mP1 = 35 kN op 2 mP2 = 45 kN op 3,5 m
RB = kN
2.Oplegreacties van balkenMoeilijk
w = 5 kN/mP = 25 kNABRA​ = ?RB​6 m1 m1 m

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RA.

L = 8 mP = 25 kN op 7 mw = 5 kN/m van 6 tot 7 m
RA = kN
3.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
w = 3 kN/mABdoorsnede5 m1 m

Vind het buigend moment Mx in de doorsnede x = 5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6 mw = 3 kN/m van 0 tot 6 mx = 5 m
Mx = kN·m
4.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
w = 10 kN/mP = 10 kNABdoorsnede6 m1 m3 m

Vind het buigend moment Mx in de doorsnede x = 7 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 10 mP = 10 kN op 6 mw = 10 kN/m van 0 tot 10 mx = 7 m
Mx = kN·m
5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld
ABBCACACB60 kN5 m2 m4 m

Gebruik de knopenmethode om de kracht FBC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 5 mhoogte = 4 mB ligt 2 m van Averticale belasting = 60 kN
FBC = kN
6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk
ABBCACACB35 kN15 kN8 m3 m3 m

Gebruik de knopenmethode om de kracht FAC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 8 mhoogte = 3 mB ligt 3 m van Averticale belasting = 35 kNhorizontale belasting = 15 kN ←
FAC = kN
7.Doorbuiging van de balkGemiddeld
P = 28 kNABδ2 m3 m

Een vrij opgelegde balk draagt een puntlast P op a = 2 m vanaf oplegging A. Vind de doorbuiging δP onder de last.

P = 28 kNa = 2 mL = 5 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Doorbuiging van de balkMoeilijk
w = 6 kN/mδL = 4 m

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment Ireq dat aan deze eis voldoet.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (staal)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Knik van kolommenGemiddeld
PL = 1 md = 25 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.

L = 1 mE = 200 GPa (staal)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Knik van kolommenMoeilijk
P = 60 kNL = 5 md = ?doorsnede

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Hij moet 60 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2,5 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 60 kNn = 2,5L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Oplossingen

1.Oplegreacties van balken

Antwoord: RB = 37,92 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

P1​ = 35 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​2 m1,5 m2,5 m

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣMA = 0: RB·6 = 35·2 + 45·3,5
RB = 227,5/6 = 37,92 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 37,92 = 42,08 kN

Antwoord

RB = 37,92 kN
2.Oplegreacties van balken

Antwoord: RA = 4,063 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

w = 5 kN/mP = 25 kNABRA​RB​6 m1 m1 m

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 5·1 = 5 kN, aangrijpend op x̄ = 6,5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 25·7 + 5·1·6,5
RB = 207,5/8 = 25,94 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 25,94 = 4,063 kN

Antwoord

RA = 4,063 kN
3.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: Mx = 7,5 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 3·6·3
RB = 54/6 = 9 kN
ΣFy = 0: RA = 18 − 9 = 9 kN
w = 3 kN/mABRA​ = 9RB​ = 9doorsnede5 m1 m

Snijd bij x = 5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = RA·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)
Mx = 9·5 − 3·5·2,5 = 7,5 kN·m

Antwoord

Mx = 7,5 kN·m
4.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: Mx = 123 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, aangrijpend op x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·6 + 10·10·5
RB = 560/10 = 56 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 56 = 54 kN
w = 10 kN/mP = 10 kNABRA​ = 54RB​ = 56doorsnede6 m1 m3 m

Snijd bij x = 7 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = RA·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)
Mx = 54·7 − 10·(7 − 6) − 10·7·3,5 = 123 kN·m

Antwoord

Mx = 123 kN·m
5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: FBC = −30 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣMA = 0: Cy·5 = 60·2 → Cy = 24 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 24 = 36 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −24/0,8 = −30 kN

Antwoord

FBC = −30 kN (druk)
6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: FAC = 12,5 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

ABBCACACB35 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣMA = 0: Cy·8 = 35·3 − 15·3 → Cy = 7,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 7,5 = 27,5 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −7,5/0,5145 = −14,58 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−14,58)·0,8575 = 12,5 kN

Antwoord

FAC = 12,5 kN (trek)
7.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δP = 38,18 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 28000 N, a = 2000 mm, b = 3000 mm, L = 5000 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging onder de last

δP = Pa²b²/(3EIL) = 28000·2000²·3000²/(3·1,76 × 10¹²·5000) = 38,18 mm

Antwoord

δP = 38,18 mm
8.Doorbuiging van de balk

Antwoord: Ireq = 9 × 10⁶ mm⁴

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Doorbuigingseis

δallow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·4000⁴/(384·200000·11,11) = 9 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 9 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

Ireq = 9 × 10⁶ mm⁴
9.Knik van kolommen

Antwoord: Pcr = 9,462 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·1000 = 2000 mm

Kritieke belasting

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2000² = 9462 N = 9,462 kN

Antwoord

Pcr = 9,462 kN
10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 72,51 mm

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Benodigde kritieke belasting

Pcr = n·P = 2,5·60000 = 150000 N
KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 72,51 mm

Antwoord

d = 72,51 mm

Controle: de slankheid KL/r is 137,9, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis