Constructieleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie R_B.

L = 5 mP₁ = 10 kN op 1,5 mP₂ = 25 kN op 3 m

R_B = kN

2.Oplegreacties van balkenMoeilijk

Een samengestelde balk is in A in de muur ingeklemd, heeft een inwendig scharnier in C (4 m van A) en rust op een rol in D (10 m van A). Hij draagt een puntlast P op 8 m van A, een gelijkmatig verdeelde belasting w op het hele deel CD en een puntlast Q op 2 m van A. Vind de grootte van het inklemmingsmoment M_A bij de muur.

AC = 4 mAD = 10 mP = 50 kN op 8 mw = 3 kN/m van 4 tot 10 mQ = 20 kN op 2 m

M_A = kN·m

3.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt een rechtsdraaiend koppel M₀ = 55 kN·m op x = 2 m vanaf A, en verder geen belasting. Vind het buigend moment M_x net rechts van het koppel. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mM₀ = 55 kN·m rechtsom, op 2 m

M_x = kN·m

4.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

30 kN @ 0 m15 kN @ 6 m50 kN @ 2 m8 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 6 mhoogte = 4 mB ligt 4 m van Averticale belasting = 30 kN

F_AC = kN

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 5 mhoogte = 2 mB ligt 2 m van Averticale belasting = 35 kNhorizontale belasting = 10 kN ←

F_AB = kN

7.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger met lengte L is ingeklemd in A en draagt een puntlast P op een afstand a = 0,5 m vanaf A. Vind de doorbuiging δ_B aan het vrije uiteinde B.

P = 23 kNa = 0,5 mL = 2 mE = 200 GPa (staal)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde houten balk met rechthoekige doorsnede, 125 mm breed, draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. De doorbuiging in het midden mag niet groter zijn dan overspanning/250. Vind de kleinste hoogte h_req van de doorsnede.

w = 1 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (constructiehout)b = 125 mm

h_req = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (staal)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (staal)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_B = 18 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·1,5 + 25·3

R_B = 90/5 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 18 = 17 kN

Antwoord

R_B = 18 kN

2.Oplegreacties van balken

Antwoord: M_A = 142,7 kN·m

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen. Een inwendig scharnier kan geen buigend moment dragen, wat één extra vergelijking geeft: het moment om het scharnier van de krachten aan één kant is nul.

Deel CD

Het scharnier heeft geen moment, dus de momenten om C op alleen CD moeten in evenwicht zijn.

W = 3·6 = 18 kN op 3 m vanaf C

ΣM_C = 0: R_D·6 = 50·4 + 18·3

R_D = 42,33 kN

V_C = 68 − 42,33 = 25,67 kN

Deel AC

De scharnierkracht V_C werkt omlaag op AC (even groot en tegengesteld aan haar werking op CD).

R_A = 20 + 25,67 = 45,67 kN

M_A = 20·2 + 25,67·4 = 142,7 kN·m

Antwoord

M_A = 142,7 kN·m

3.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 27,5 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Een uitwendig koppel laat de momentenlijn verspringen met de grootte van het koppel.

Oplegreacties

Momenten om A, linksom positief: R_B·L − M₀ = 0. Verticaal evenwicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 55/4 = 13,75 kN (omhoog)

R_A = −R_B = −13,75 kN (omlaag)

Snede net rechts van het koppel

Het linkerdeel bevat nu R_A en het koppel.

M_x = R_A·a + M₀ = −13,75·2 + 55 = 27,5 kN·m

Antwoord

M_x = 27,5 kN·m

4.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: B (x = 1 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 87,25 kN, R₂ = 39,75 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = −30 kN·m, M_C = 23,25, M_D = 18,5, M_E = 5,75, M_F = −15, M_G = 0

Antwoord

Markering B: M_B = −30 kN·m

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AC = 10 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·4 → C_y = 20 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 20 = 10 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −20/0,8944 = −22,36 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−22,36)·0,4472 = 10 kN

Antwoord

F_AC = 10 kN (trek)

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AB = −35,36 kN

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 35·2 − 10·2 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 10 = 25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Knoop A

Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.

sin α = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −25/0,7071 = −35,36 kN

Antwoord

F_AB = −35,36 kN (druk)

7.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_B = 3,1 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 23000 N, a = 500 mm, L = 2000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging aan het vrije uiteinde

Doorbuiging bij de last plus de hoekverdraaiing bij de last maal de resterende lengte.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,5637 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,001691 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 3,1 mm

Antwoord

δ_B = 3,1 mm

8.Doorbuiging van de balk

Antwoord: h_req = 137,3 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Doorbuigingseis

δ_allow = L/250 = 4500/250 = 18 mm

Benodigd traagheidsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·4500⁴/(384·11000·18) = 2,697 × 10⁷ mm⁴

Benodigde hoogte

bh³/12 = I_req → h = (12·2,697 × 10⁷/125)^1/3 = 137,3 mm

Antwoord

h_req = 137,3 mm

Kies in de praktijk de eerstvolgende standaardhoogte boven deze waarde.

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 284,8 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2100² = 284752 N = 284,8 kN

Antwoord

P_cr = 284,8 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 1,974 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/10 = 1000

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/1000² = 1,974 MPa

Antwoord

σ_cr = 1,974 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis