Constructieleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De uitkragende ligger is in A in de muur ingeklemd. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w van de muur tot 4,5 m en een puntlast P op 4,5 m van de muur. Vind de grootte van het inklemmingsmoment M_A bij de muur.

L = 6 mP = 45 kN op 4,5 mw = 12 kN/m van 0 tot 4,5 m

M_A = kN·m

2.Oplegreacties van balkenMoeilijk

De balk heeft een scharnier in A en een rol in B, op 6 m van A, en steekt voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Hij draagt een puntlast P op 2 m van A en een gelijkmatig verdeelde belasting w van 5 m tot het vrije uiteinde op 10 m. Vind de verticale reactie R_A, met omhoog positief.

AB = 6 mAC = 10 mP = 65 kN op 2 mw = 5 kN/m van 5 tot 10 m

R_A = kN

3.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt een rechtsdraaiend koppel M₀ = 30 kN·m op x = 1,5 m vanaf A, en verder geen belasting. Vind het buigend moment M_x net links van het koppel. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mM₀ = 30 kN·m rechtsom, op 1,5 m

M_x = kN·m

4.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting over een deel van de overspanning. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 6 mw = 8 kN/m van 3 tot 6 m

M_max = kN·m

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 6 mhoogte = 4 mB ligt 2 m van Averticale belasting = 45 kN

F_AB = kN

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_BC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 4 mhoogte = 2 mB ligt 3 m van Averticale belasting = 45 kNhorizontale belasting = 10 kN ←

F_BC = kN

7.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een puntlast P op a = 3 m vanaf oplegging A. Vind de doorbuiging δ_P onder de last.

P = 6 kNa = 3 mL = 4 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w en een puntlast P in het midden. Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δ_max.

P = 24 kNw = 6 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Oplegreacties van balken

Antwoord: M_A = 324 kN·m

Evenwicht van een uitkragende ligger: een inklemming kan omhoog duwen en ook rotatie tegenhouden, dus ze levert een verticale reactie R_A en een inklemmingsmoment M_A. ΣF_y = 0 geeft R_A, en momenten om de muur geven M_A = Σ(last × afstand tot de muur). Een verdeelde belasting werkt als haar resultante in het zwaartepunt van het belastingsdiagram.

Resultante van de verdeelde belasting

W = 12·4,5 = 54 kN, x̄ = 2,25 m

Moment om de muur

M_A = P·a + W·x̄ = 45·4,5 + 54·2,25 = 324 kN·m

Antwoord

M_A = 324 kN·m

2.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_A = 37,08 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.

Resultante van de verdeelde belasting

W = 5·5 = 25 kN, x̄ = (5 + 10)/2 = 7,5 m

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 65·2 + 25·7,5

R_B = 317,5/6 = 52,92 kN

R_A = 90 − 52,92 = 37,08 kN

Antwoord

R_A = 37,08 kN

3.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = −9 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Een uitwendig koppel laat de momentenlijn verspringen met de grootte van het koppel.

Oplegreacties

Momenten om A, linksom positief: R_B·L − M₀ = 0. Verticaal evenwicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 30/5 = 6 kN (omhoog)

R_A = −R_B = −6 kN (omlaag)

Snede net links van het koppel

Het linkerdeel bevat alleen R_A.

M_x = R_A·a = −6·1,5 = −9 kN·m

Antwoord

M_x = −9 kN·m

4.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 20,25 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN, aangrijpend op x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·3·4,5

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 18 = 6 kN

Dwarskracht nul

De dwarskracht begint bij R_A, blijft constant over elk onbelast deel en daalt met helling w binnen de belasting.

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 6/8 = 3,75 m

Maximaal moment

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 3)²/2 = 6·3,75 − 8·0,75²/2 = 20,25 kN·m

Antwoord

M_max = 20,25 kN·m

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AB = −33,54 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·2 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 15 = 30 kN

Knoop A

Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.

sin α = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −30/0,8944 = −33,54 kN

Antwoord

F_AB = −33,54 kN (druk)

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_BC = −32,14 kN

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 45·3 − 10·2 → C_y = 28,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 28,75 = 16,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −28,75/0,8944 = −32,14 kN

Antwoord

F_BC = −32,14 kN (druk)

7.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_P = 17,79 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 6000 N, a = 3000 mm, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Doorbuiging onder de last

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 6000·3000²·1000²/(3·2,53 × 10¹¹·4000) = 17,79 mm

Antwoord

δ_P = 17,79 mm

8.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 20,75 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 24000 N, w = 6 N/mm, L = 2000 mm, EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(48EI) = 24000·2000³/(48·2,53 × 10¹¹) = 15,81 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2000⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 4,941 mm

Tel ze op

δ_max = 15,81 + 4,941 = 20,75 mm

Antwoord

δ_max = 20,75 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 11,75 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/1400² = 11750 N = 11,75 kN

Antwoord

P_cr = 11,75 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 6,218 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/7,5 = 333,3

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/333,3² = 6,218 MPa

Antwoord

σ_cr = 6,218 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis