Constructieleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Oplegreacties van balken

Evenwicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Moment
M = F·d

Methode

  1. Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
  2. Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
  3. Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
  4. Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
  2. Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
  3. Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
  4. Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Snedemethode
ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht
positief = trek, negatief = druk

Methode

  1. Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
  2. Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣFx = 0 en ΣFy = 0.
  3. Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
  4. Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden
δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten
δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast
δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting
δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie
δ = δ1 + δ2

Knik van kolommen

Eulerse kniklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor
K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning
σcr = Pcr/A
Slankheid
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Oplegreacties van balkenGemiddeld
P1​ = 55 kNP2​ = 35 kNABRA​ = ?RB​1,5 m1,5 m3 m

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RA.

L = 6 mP1 = 55 kN op 1,5 mP2 = 35 kN op 3 m
RA = kN
2.Oplegreacties van balkenMoeilijk
w = 4 kN/mP = 60 kNABRA​RB​ = ?2 m0,5 m0,5 m1 m

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RB.

L = 4 mP = 60 kN op 2,5 mw = 4 kN/m van 2 tot 3 m
RB = kN
3.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
15 kN/m45 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

45 kN @ 6 m15 kN/m, 2–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
w = 8 kN/mABC8 m1 m

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 1 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Over de hele lengte A–C werkt een gelijkmatig verdeelde belasting w. Vind het maximale doorbuigende (sagging) moment Mmax tussen de opleggingen.

L = 9 mw = 8 kN/m van 0 tot 9 mopleggingen bij x = 0 en x = 8 m
Mmax = kN·m
5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld
ABBCACACB45 kN4 m3 m3 m

Gebruik de knopenmethode om de kracht FAB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 4 mhoogte = 3 mB ligt 3 m van Averticale belasting = 45 kN
FAB = kN
6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk
ABBCACACB15 kN15 kN8 m5 m2 m

Gebruik de knopenmethode om de kracht FAC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 8 mhoogte = 2 mB ligt 5 m van Averticale belasting = 15 kNhorizontale belasting = 15 kN ←
FAC = kN
7.Doorbuiging van de balkGemiddeld
w = 12 kN/mδL = 5 m

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δmax, in het midden.

w = 12 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Doorbuiging van de balkMoeilijk
w = 10 kN/mP = 21 kNδL = 2 m

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w en een puntlast P in het midden. Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δmax.

P = 21 kNw = 10 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (staal)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Knik van kolommenGemiddeld
PL = 2 md = 20 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm
Pcr = kN
10.Knik van kolommenMoeilijk
PL = 6 md = 40 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σcr met de formule van Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
σcr = MPa

3Oplossingen

1.Oplegreacties van balken

Antwoord: RA = 58,75 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

P1​ = 55 kNP2​ = 35 kNABRA​RB​1,5 m1,5 m3 m

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣMA = 0: RB·6 = 55·1,5 + 35·3
RB = 187,5/6 = 31,25 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 31,25 = 58,75 kN

Antwoord

RA = 58,75 kN
2.Oplegreacties van balken

Antwoord: RB = 40 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

w = 4 kN/mP = 60 kNABRA​RB​2 m0,5 m0,5 m1 m

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 4·1 = 4 kN, aangrijpend op x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 60·2,5 + 4·1·2,5
RB = 160/4 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 64 − 40 = 24 kN

Antwoord

RB = 40 kN
3.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: D (x = 6 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R1 = 82,5 kN, R2 = 82,5 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

MA = 0, MB = 165, MC = 300, MD = 375 kN·m, ME = 300, MF = 165, MG = 0

Antwoord

Markering D: MD = 375 kN·m
4.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: Mmax = 62,02 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk, inclusief de belasting op het overstek.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 8·9 = 72 kN, aangrijpend op x̄ = 4,5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 8·9·4,5
RB = 324/8 = 40,5 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 40,5 = 31,5 kN

Dwarskracht nul

RA − w·x0 = 0 → x0 = 31,5/8 = 3,938 m

Maximaal doorbuigend moment

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 31,5²/(2·8) = 62,02 kN·m

Antwoord

Mmax = 62,02 kN·m
5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: FAB = −15,91 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣMA = 0: Cy·4 = 45·3 → Cy = 33,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 33,75 = 11,25 kN

Knoop A

Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −11,25/0,7071 = −15,91 kN

Antwoord

FAB = −15,91 kN (druk)
6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: FAC = 8,438 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

ABBCACACB15 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣMA = 0: Cy·8 = 15·5 − 15·2 → Cy = 5,625 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 5,625 = 9,375 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −5,625/0,5547 = −10,14 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−10,14)·0,8321 = 8,438 kN

Antwoord

FAC = 8,438 kN (trek)
7.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δmax = 38,75 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 5000 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·5000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 38,75 mm

Antwoord

δmax = 38,75 mm
8.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δmax = 3,284 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 21000 N, w = 10 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δP = PL³/(48EI) = 21000·2000³/(48·1,7 × 10¹²) = 2,059 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 1,225 mm

Tel ze op

δmax = 2,059 + 1,225 = 3,284 mm

Antwoord

δmax = 3,284 mm
9.Knik van kolommen

Antwoord: Pcr = 5,426 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Kritieke belasting

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1000² = 5426 N = 5,426 kN

Antwoord

Pcr = 5,426 kN
10.Knik van kolommen

Antwoord: σcr = 7,676 MPa

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
KL/r = 3000/10 = 300

Kritieke spanning

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Antwoord

σcr = 7,676 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis