Constructieleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De balk heeft een scharnier in A en een rol in B, op 4,5 m van A, en steekt voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Vind de verticale reactie R_B, met omhoog positief.

AB = 4,5 mAC = 6 mP₁ = 45 kN op 2 mP₂ = 45 kN op 6 m

R_B = kN

2.Oplegreacties van balkenMoeilijk

Een samengestelde balk is in A in de muur ingeklemd, heeft een inwendig scharnier in C (2 m van A) en rust op een rol in D (6 m van A). Hij draagt een puntlast P op 5 m van A, een gelijkmatig verdeelde belasting w op het hele deel CD en een puntlast Q op 1 m van A. Vind de grootte van het inklemmingsmoment M_A bij de muur.

AC = 2 mAD = 6 mP = 30 kN op 5 mw = 4 kN/m van 2 tot 6 mQ = 35 kN op 1 m

M_A = kN·m

3.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 2 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Hij draagt een puntlast P₁ tussen de opleggingen en een puntlast P₂ in C. Vind het buigend moment M_B bij oplegging B. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6 mP₁ = 80 kN op 1 mP₂ = 15 kN op 6 mopleggingen bij x = 0 en x = 4 m

M_B = kN·m

4.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

45 kN @ 12 m15 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.

F: 35 kN ↓G: 40 kN ↓

1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf BG
13staaf DG

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 8 mhoogte = 2 mB ligt 5 m van Averticale belasting = 50 kNhorizontale belasting = 25 kN ←

F_AC = kN

7.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (staal)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w en een puntlast P in het midden. Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δ_max.

P = 9 kNw = 15 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (staal)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_B = 80 kN

Momenten om A

Linksom positief.

ΣM_A = 0: R_B·4,5 = 45·2 + 45·6

R_B = 360/4,5 = 80 kN

Verticaal evenwicht

R_A = 45 + 45 − 80 = 10 kN

Antwoord

R_B = 80 kN

2.Oplegreacties van balken

Antwoord: M_A = 66 kN·m

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen. Een inwendig scharnier kan geen buigend moment dragen, wat één extra vergelijking geeft: het moment om het scharnier van de krachten aan één kant is nul.

Deel CD

Het scharnier heeft geen moment, dus de momenten om C op alleen CD moeten in evenwicht zijn.

W = 4·4 = 16 kN op 2 m vanaf C

ΣM_C = 0: R_D·4 = 30·3 + 16·2

R_D = 30,5 kN

V_C = 46 − 30,5 = 15,5 kN

Deel AC

De scharnierkracht V_C werkt omlaag op AC (even groot en tegengesteld aan haar werking op CD).

R_A = 35 + 15,5 = 50,5 kN

M_A = 35·1 + 15,5·2 = 66 kN·m

Antwoord

M_A = 66 kN·m

3.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_B = −30 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk. De last op het overstek levert ook een moment om A.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 80·1 + 15·6

R_B = 170/4 = 42,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 42,5 = 52,5 kN

Snede bij B, houd het overstek over

Op het overstek werkt alleen P₂, met arm a. Die buigt de balk boven de oplegging omhoog (opbuigend, hogging).

M_B = −P₂·a = −15·2 = −30 kN·m

Antwoord

M_B = −30 kN·m

4.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: E (x = 8 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 37,5 kN, R₂ = 127,5 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 45, M_C = 30, M_D = −45, M_E = −180 kN·m, M_F = −90, M_G = 0

Antwoord

Markering E: M_E = −180 kN·m

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: staaf CG

Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.

Knooppunt C

BC en CD liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen CG over.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Controleer met de knooppuntenmethode

Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).

AB: 46,25 kN (T), BC: 57,5 kN (T), CD: 57,5 kN (T), DE: 28,75 kN (T), FG: 46,25 kN (C), GH: 28,75 kN (C), AF: 65,41 kN (C), HE: 40,66 kN (C), BF: 11,25 kN (T), CG: 0, DH: 28,75 kN (T), BG: 15,91 kN (C), DG: 40,66 kN (C)

Antwoord

Nulstaaf: CG

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AC = 37,5 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 50·5 − 25·2 → C_y = 25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 25 = 25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −25/0,5547 = −45,07 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−45,07)·0,8321 = 37,5 kN

Antwoord

F_AC = 37,5 kN (trek)

7.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 4,444 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 8000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·8000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 4,444 mm

Antwoord

δ_max = 4,444 mm

8.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 2,9 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 9000 N, w = 15 N/mm, L = 3000 mm, EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(48EI) = 9000·3000³/(48·7,2 × 10¹²) = 0,7031 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 2,197 mm

Tel ze op

δ_max = 0,7031 + 2,197 = 2,9 mm

Antwoord

δ_max = 2,9 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 2,12 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·5000 = 10000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/10000² = 2120 N = 2,12 kN

Antwoord

P_cr = 2,12 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 197,4 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/15 = 100

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197,4 MPa

Antwoord

σ_cr = 197,4 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis