Constructieleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De vrij opgelegde balk (scharnier in A, rol in B) draagt een lineair verlopende belasting die afloopt van 4 kN/m in A tot nul in B. Vind de verticale oplegreactie R_B.

L = 4 mw₀ = 4 kN/m

R_B = kN

2.Oplegreacties van balkenMoeilijk

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie R_B.

L = 8 mP = 60 kN op 6 mw = 4 kN/m van 5 tot 7 m

R_B = kN

3.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De uitkragende ligger is ingeklemd in A. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 0,5 m vanaf A. Vind het buigend moment M_A bij de inklemming A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 2,5 mP = 45 kN op 0,5 mw = 10 kN/m van 0 tot 2,5 m

M_A = kN·m

4.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning en een puntlast P. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 4 mP = 50 kN op 1,5 mw = 4 kN/m van 0 tot 4 m

M_max = kN·m

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.

B: 30 kN ↓F: 20 kN ↓G: 40 kN ↓H: 20 kN ↓

1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf FC
13staaf HC

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_BC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 6 mhoogte = 2 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 20 kNhorizontale belasting = 15 kN ←

F_BC = kN

7.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P aan het vrije uiteinde. Vind met superpositie de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

P = 15 kNw = 12 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde houten balk met rechthoekige doorsnede, 125 mm breed, draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. De doorbuiging in het midden mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind de kleinste hoogte h_req van de doorsnede.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (constructiehout)b = 125 mm

h_req = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_B = 2,667 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.

Resultante van de driehoeksbelasting

W = ½·4·4 = 8 kN

x̄ = L/3 = 1,333 m

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·1,333

R_B = 2,667 kN

R_A = 8 − 2,667 = 5,333 kN

Antwoord

R_B = 2,667 kN

2.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_B = 51 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, aangrijpend op x̄ = 6 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·6 + 4·2·6

R_B = 408/8 = 51 kN

ΣF_y = 0: R_A = 68 − 51 = 17 kN

Antwoord

R_B = 51 kN

3.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_A = −53,75 kN·m

Houd het deel met het vrije uiteinde over

P: −45·0,5 = −22,5 kN·m

w: −10·2,5²/2 = −31,25 kN·m

M_A = −22,5 − 31,25 = −53,75 kN·m

Antwoord

M_A = −53,75 kN·m

Negatief betekent opbuigend (hogging): trek aan de bovenzijde.

4.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 54,38 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·1,5 + 4·4·2

R_B = 107/4 = 26,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 66 − 26,75 = 39,25 kN

Waar is V = 0?

V(1,5⁻) = R_A − w·1,5 = 33,25 kN

V(1,5⁺) = 33,25 − 50 = −16,75 kN

De dwarskracht wisselt van teken bij de last, dus het maximum ligt onder de last.

Maximaal moment

M_max = R_A·1,5 − w·1,5²/2 = 39,25·1,5 − 4·1,5²/2 = 54,38 kN·m

Antwoord

M_max = 54,38 kN·m

Dat is op x = 1,5 m vanaf A.

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: staaf DH

Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.

Knooppunt D

CD en DE liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen DH over.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Controleer met de knooppuntenmethode

Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).

AB: 46,88 kN (T), BC: 46,88 kN (T), CD: 35,62 kN (T), DE: 35,62 kN (T), FG: 56,25 kN (C), GH: 56,25 kN (C), AF: 78,13 kN (C), HE: 59,37 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 15,62 kN (T), HC: 34,38 kN (T)

Antwoord

Nulstaaf: DH

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_BC = 4,488 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 20·1 − 15·2 → C_y = −1,667 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − −1,667 = 21,67 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−1,667/0,3714 = 4,488 kN

Antwoord

F_BC = 4,488 kN (trek)

7.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 69,26 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 15000 N, w = 12 N/mm, L = 2000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(3EI) = 15000·2000³/(3·9,24 × 10¹¹) = 43,29 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 12·2000⁴/(8·9,24 × 10¹¹) = 25,97 mm

Tel ze op

δ = 43,29 + 25,97 = 69,26 mm

Antwoord

δ = 69,26 mm

8.Doorbuiging van de balk

Antwoord: h_req = 328,2 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Benodigd traagheidsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·6000⁴/(384·11000·16,67) = 3,682 × 10⁸ mm⁴

Benodigde hoogte

bh³/12 = I_req → h = (12·3,682 × 10⁸/125)^1/3 = 328,2 mm

Antwoord

h_req = 328,2 mm

Kies in de praktijk de eerstvolgende standaardhoogte boven deze waarde.

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 67,29 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/750² = 67288 N = 67,29 kN

Antwoord

P_cr = 67,29 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 69,09 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Antwoord

σ_cr = 69,09 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis