Constructieleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Oplegreacties van balken

Evenwicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Moment
M = F·d

Methode

  1. Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
  2. Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
  3. Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
  4. Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
  2. Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
  3. Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
  4. Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Snedemethode
ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht
positief = trek, negatief = druk

Methode

  1. Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
  2. Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣFx = 0 en ΣFy = 0.
  3. Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
  4. Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden
δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten
δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast
δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting
δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie
δ = δ1 + δ2

Knik van kolommen

Eulerse kniklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor
K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning
σcr = Pcr/A
Slankheid
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Oplegreacties van balkenGemiddeld
w = 3 kN/mP = 30 kNABRA​ = ?7 m3 m

De uitkragende ligger is in A in de muur ingeklemd. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 7 m van de muur. Vind de verticale reactie RA bij de muur.

L = 10 mP = 30 kN op 7 mw = 3 kN/m van 0 tot 10 m
RA = kN
2.Oplegreacties van balkenMoeilijk
w = 3 kN/mP = 10 kNABRA​ = ?RB​2 m0,5 m2,5 m

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RA.

L = 5 mP = 10 kN op 2,5 mw = 3 kN/m van 0 tot 2 m
RA = kN
3.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
M0​ = 45 kN·mAB1 m3 m

De vrij opgelegde balk draagt een rechtsdraaiend koppel M0 = 45 kN·m op x = 1 m vanaf A, en verder geen belasting. Vind het buigend moment Mx net links van het koppel. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mM0 = 45 kN·m rechtsom, op 1 m
Mx = kN·m
4.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
w = 10 kN/mAB1 m2 m1 m

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting over een deel van de overspanning. Vind het maximale buigend moment Mmax in de balk.

L = 4 mw = 10 kN/m van 1 tot 3 m
Mmax = kN·m
5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld
ABBCACACB20 kN4 m3 m4 m

Gebruik de knopenmethode om de kracht FAC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 4 mhoogte = 4 mB ligt 3 m van Averticale belasting = 20 kN
FAC = kN
6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk
ABBCACACB40 kN10 kN5 m2 m2 m

Gebruik de knopenmethode om de kracht FAC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 5 mhoogte = 2 mB ligt 2 m van Averticale belasting = 40 kNhorizontale belasting = 10 kN →
FAC = kN
7.Doorbuiging van de balkGemiddeld
w = 5 kN/mδL = 2 m

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. Vind de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

w = 5 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Doorbuiging van de balkMoeilijk
w = 5 kN/mδL = 3 m

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment Ireq dat aan deze eis voldoet.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (constructiehout)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Knik van kolommenGemiddeld
PL = 2 m40 × 60 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.Knik van kolommenMoeilijk
P = 60 kNL = 6 md = ?doorsnede

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Hij moet 60 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2,5 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 60 kNn = 2,5L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Oplossingen

1.Oplegreacties van balken

Antwoord: RA = 60 kN

Evenwicht van een uitkragende ligger: een inklemming kan omhoog duwen en ook rotatie tegenhouden, dus ze levert een verticale reactie RA en een inklemmingsmoment MA. ΣFy = 0 geeft RA, en momenten om de muur geven MA = Σ(last × afstand tot de muur). Een verdeelde belasting werkt als haar resultante in het zwaartepunt van het belastingsdiagram.

Resultante van de verdeelde belasting

W = 3·10 = 30 kN, x̄ = 5 m

Verticaal evenwicht

RA = P + W = 30 + 30 = 60 kN

Antwoord

RA = 60 kN
2.Oplegreacties van balken

Antwoord: RA = 9,8 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

w = 3 kN/mP = 10 kNABRA​RB​2 m0,5 m2,5 m

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 3·2 = 6 kN, aangrijpend op x̄ = 1 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·2,5 + 3·2·1
RB = 31/5 = 6,2 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 6,2 = 9,8 kN

Antwoord

RA = 9,8 kN
3.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: Mx = −11,25 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Een uitwendig koppel laat de momentenlijn verspringen met de grootte van het koppel.

Oplegreacties

Momenten om A, linksom positief: RB·L − M0 = 0. Verticaal evenwicht: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 45/4 = 11,25 kN (omhoog)
RA = −RB = −11,25 kN (omlaag)

Snede net links van het koppel

Het linkerdeel bevat alleen RA.

Mx = RA·a = −11,25·1 = −11,25 kN·m

Antwoord

Mx = −11,25 kN·m
4.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: Mmax = 15 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·2·2
RB = 40/4 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN

Dwarskracht nul

De dwarskracht begint bij RA, blijft constant over elk onbelast deel en daalt met helling w binnen de belasting.

RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 10/10 = 2 m

Maximaal moment

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 1)²/2 = 10·2 − 10·1²/2 = 15 kN·m

Antwoord

Mmax = 15 kN·m
5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: FAC = 3,75 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

ABBCACACB20 kNAy​Cy​

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣMA = 0: Cy·4 = 20·3 → Cy = 15 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 15 = 5 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −15/0,9701 = −15,46 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−15,46)·0,2425 = 3,75 kN

Antwoord

FAC = 3,75 kN (trek)
6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: FAC = 30 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

ABBCACACB40 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣMA = 0: Cy·5 = 40·2 + 10·2 → Cy = 20 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 20 = 20 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −20/0,5547 = −36,06 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−36,06)·0,8321 = 30 kN

Antwoord

FAC = 30 kN (trek)
7.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 15,95 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2000 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Doorbuiging

δ = wL⁴/(8EI) = 5·2000⁴/(8·6,27 × 10¹¹) = 15,95 mm

Antwoord

δ = 15,95 mm
8.Doorbuiging van de balk

Antwoord: Ireq = 57,53 × 10⁶ mm⁴

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Doorbuigingseis

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·3000⁴/(384·11000·8,333) = 5,753 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 57,53 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

Ireq = 57,53 × 10⁶ mm⁴
9.Knik van kolommen

Antwoord: Pcr = 322,3 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritieke belasting

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/1400² = 322273 N = 322,3 kN

Antwoord

Pcr = 322,3 kN
10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 79,43 mm

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Benodigde kritieke belasting

Pcr = n·P = 2,5·60000 = 150000 N
KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 79,43 mm

Antwoord

d = 79,43 mm

Controle: de slankheid KL/r is 151,1, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis