Constructieleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Oplegreacties van balken

Evenwicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Moment
M = F·d

Methode

  1. Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
  2. Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
  3. Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
  4. Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
  2. Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
  3. Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
  4. Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Snedemethode
ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht
positief = trek, negatief = druk

Methode

  1. Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
  2. Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣFx = 0 en ΣFy = 0.
  3. Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
  4. Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden
δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten
δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast
δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting
δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie
δ = δ1 + δ2

Knik van kolommen

Eulerse kniklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor
K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning
σcr = Pcr/A
Slankheid
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Oplegreacties van balkenGemiddeld
P = 70 kNM = 10 kN·mABRA​ = ?2,5 m2 m0,5 m

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Hij draagt een puntlast P op 4,5 m van A en een linksdraaiend koppel M op 2,5 m van A. Vind de verticale reactie RA, met omhoog positief.

L = 5 mP = 70 kN op 4,5 mM = 10 kN·m (linksdraaiend) op 2,5 m
RA = kN
2.Oplegreacties van balkenMoeilijk
w0​ = 12 kN/mP = 25 kNABMA​ = ?4 m2 m

De uitkragende ligger is in A in de muur ingeklemd. Hij draagt een lineair verlopende belasting die nul is bij de muur en oploopt tot 12 kN/m aan het vrije uiteinde B, plus een puntlast P op 4 m van de muur. Vind de grootte van het inklemmingsmoment MA bij de muur.

L = 6 mw0 = 12 kN/mP = 25 kN op 4 m
MA = kN·m
3.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
w = 6 kN/mP = 75 kNAB1 m1 m

De uitkragende ligger is ingeklemd in A. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 1 m vanaf A. Vind het buigend moment MA bij de inklemming A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 2 mP = 75 kN op 1 mw = 6 kN/m van 0 tot 2 m
MA = kN·m
4.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
w = 10 kN/mP = 55 kNABdoorsnede5 m1 m

Vind het buigend moment Mx in de doorsnede x = 5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6 mP = 55 kN op 5 mw = 10 kN/m van 0 tot 6 mx = 5 m
Mx = kN·m
5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld
ABBCACACB45 kN5 m1 m3 m

Gebruik de knopenmethode om de kracht FAB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 5 mhoogte = 3 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 45 kN
FAB = kN
6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk
ABBCACACB10 kN5 kN4 m3 m4 m

Gebruik de knopenmethode om de kracht FBC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 4 mhoogte = 4 mB ligt 3 m van Averticale belasting = 10 kNhorizontale belasting = 5 kN →
FBC = kN
7.Doorbuiging van de balkGemiddeld
w = 12 kN/mδL = 4 m

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. Vind de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

w = 12 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (staal)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Doorbuiging van de balkMoeilijk
P = 26 kNP = 26 kNABδ1,667 m1,666 m1,667 m

Een vrij opgelegde balk draagt twee gelijke puntlasten P op de derdepunten (L/3 vanaf elke oplegging). Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δmax.

P = 26 kNL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Knik van kolommenGemiddeld
PL = 1,5 m40 × 100 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.Knik van kolommenMoeilijk
P = 45 kNL = 3 md = ?doorsnede

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Hij moet 45 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 45 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (staal)
d = mm

3Oplossingen

1.Oplegreacties van balken

Antwoord: RA = 9 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.

Momenten om A

Linksom positief.

ΣMA = 0: RB·5 − 70·4,5 + 10 = 0
RB = 305/5 = 61 kN

Verticaal evenwicht

RA = 70 − 61 = 9 kN

Antwoord

RA = 9 kN

Een negatieve reactie werkt omlaag.

2.Oplegreacties van balken

Antwoord: MA = 244 kN·m

Evenwicht van een uitkragende ligger: een inklemming kan omhoog duwen en ook rotatie tegenhouden, dus ze levert een verticale reactie RA en een inklemmingsmoment MA. ΣFy = 0 geeft RA, en momenten om de muur geven MA = Σ(last × afstand tot de muur). Een verdeelde belasting werkt als haar resultante in het zwaartepunt van het belastingsdiagram.

Resultante van de driehoeksbelasting

W = ½·12·6 = 36 kN
x̄ = 2L/3 = 4 m

Moment om de muur

MA = W·x̄ + P·a = 36·4 + 25·4 = 244 kN·m

Antwoord

MA = 244 kN·m
3.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: MA = −87 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Houd het deel met het vrije uiteinde over

P: −75·1 = −75 kN·m
w: −6·2²/2 = −12 kN·m
MA = −75 − 12 = −87 kN·m

Antwoord

MA = −87 kN·m

Negatief betekent opbuigend (hogging): trek aan de bovenzijde.

4.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: Mx = 70,83 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 55·5 + 10·6·3
RB = 455/6 = 75,83 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 75,83 = 39,17 kN
w = 10 kN/mP = 55 kNABRA​ = 39,17RB​ = 75,83doorsnede5 m1 m

Snijd bij x = 5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = RA·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)
Mx = 39,17·5 − 10·5·2,5 = 70,83 kN·m

Antwoord

Mx = 70,83 kN·m
5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: FAB = −37,95 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣMA = 0: Cy·5 = 45·1 → Cy = 9 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 9 = 36 kN

Knoop A

Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −36/0,9487 = −37,95 kN

Antwoord

FAB = −37,95 kN (druk)
6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: FBC = −12,88 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

ABBCACACB10 kN5 kNAy​Cy​Ax​

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣMA = 0: Cy·4 = 10·3 + 5·4 → Cy = 12,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 12,5 = −2,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −12,5/0,9701 = −12,88 kN

Antwoord

FBC = −12,88 kN (druk)
7.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 12 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 4000 mm
EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Doorbuiging

δ = wL⁴/(8EI) = 12·4000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 12 mm

Antwoord

δ = 12 mm
8.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δmax = 10,3 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 26000 N, L = 5000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Eén last op L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm
δ₁ = 5,15 mm

Tel beide lasten op

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 10,3 mm

Antwoord

δmax = 10,3 mm
9.Knik van kolommen

Antwoord: Pcr = 117 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritieke belasting

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/3000² = 116973 N = 117 kN

Antwoord

Pcr = 117 kN
10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 84,16 mm

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Benodigde kritieke belasting

Pcr = n·P = 3·45000 = 135000 N
KL = 2·3000 = 6000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 84,16 mm

Antwoord

d = 84,16 mm

Controle: de slankheid KL/r is 285,2, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis