Constructieleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie R_B.

L = 8 mP₁ = 15 kN op 5 mP₂ = 60 kN op 6 m

R_B = kN

2.Oplegreacties van balkenMoeilijk

Een samengestelde balk is in A in de muur ingeklemd, heeft een inwendig scharnier in C (2,5 m van A) en rust op een rol in D (6 m van A). Hij draagt een puntlast P op 4,5 m van A en een puntlast Q op 1,5 m van A. Vind de grootte van het inklemmingsmoment M_A bij de muur.

AC = 2,5 mAD = 6 mP = 40 kN op 4,5 mQ = 50 kN op 1,5 m

M_A = kN·m

3.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind de dwarskracht V_x in de doorsnede x = 0,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6 mw = 4 kN/m van 0 tot 6 mx = 0,5 m

V_x = kN

4.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 2 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Over de hele lengte A–C werkt een gelijkmatig verdeelde belasting w. Vind het maximale doorbuigende (sagging) moment M_max tussen de opleggingen.

L = 6 mw = 2 kN/m van 0 tot 6 mopleggingen bij x = 0 en x = 4 m

M_max = kN·m

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 6 mhoogte = 4 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 30 kN

F_AC = kN

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 6 mhoogte = 2 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 20 kNhorizontale belasting = 5 kN ←

F_AB = kN

7.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. Vind de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (staal)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w en een puntlast P in het midden. Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δ_max.

P = 29 kNw = 10 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 110 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 110 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_B = 54,38 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·5 + 60·6

R_B = 435/8 = 54,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 54,38 = 20,63 kN

Antwoord

R_B = 54,38 kN

2.Oplegreacties van balken

Antwoord: M_A = 117,9 kN·m

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen. Een inwendig scharnier kan geen buigend moment dragen, wat één extra vergelijking geeft: het moment om het scharnier van de krachten aan één kant is nul.

Deel CD

Het scharnier heeft geen moment, dus de momenten om C op alleen CD moeten in evenwicht zijn.

ΣM_C = 0: R_D·3,5 = 40·2

R_D = 22,86 kN

V_C = 40 − 22,86 = 17,14 kN

Deel AC

De scharnierkracht V_C werkt omlaag op AC (even groot en tegengesteld aan haar werking op CD).

R_A = 50 + 17,14 = 67,14 kN

M_A = 50·1,5 + 17,14·2,5 = 117,9 kN·m

Antwoord

M_A = 117,9 kN·m

3.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: V_x = 10 kN

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·6·3

R_B = 72/6 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Snijd bij x = 0,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

V = R_A − (alle neerwaartse belastingen links van de snede)

V_x = 12 − 4·0,5 = 10 kN

Antwoord

V_x = 10 kN

4.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 2,25 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk, inclusief de belasting op het overstek.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·6·3

R_B = 36/4 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 9 = 3 kN

Dwarskracht nul

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 3/2 = 1,5 m

Maximaal doorbuigend moment

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 3²/(2·2) = 2,25 kN·m

Antwoord

M_max = 2,25 kN·m

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AC = 6,25 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·1 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 5 = 25 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −5/0,6247 = −8,004 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−8,004)·0,7809 = 6,25 kN

Antwoord

F_AC = 6,25 kN (trek)

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AB = −20,5 kN

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 20·1 − 5·2 → C_y = 1,667 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 1,667 = 18,33 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Knoop A

Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −18,33/0,8944 = −20,5 kN

Antwoord

F_AB = −20,5 kN (druk)

7.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 42,67 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 8000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Doorbuiging

δ = wL⁴/(8EI) = 2·8000⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 42,67 mm

Antwoord

δ = 42,67 mm

8.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 54,55 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 29000 N, w = 10 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(48EI) = 29000·4000³/(48·1,32 × 10¹²) = 29,29 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·4000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 25,25 mm

Tel ze op

δ_max = 29,29 + 25,25 = 54,55 mm

Antwoord

δ_max = 54,55 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 56,06 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/700² = 56060 N = 56,06 kN

Antwoord

P_cr = 56,06 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 61,38 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·110000 = 220000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·220000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 61,38 mm

Antwoord

d = 61,38 mm

Controle: de slankheid KL/r is 162,9, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis