Constructieleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie R_A.

L = 6 mP₁ = 40 kN op 3 mP₂ = 55 kN op 3,5 m

R_A = kN

2.Oplegreacties van balkenMoeilijk

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Een last P werkt op 9 m van A, onder een hoek van 45° met de horizontaal, en een verticale last Q werkt op 4 m van A. Vind de grootte van de totale reactiekracht R_A in het scharnier A.

L = 10 mP = 45 kN op 9 m, θ = 45°Q = 35 kN op 4 m

R_A = kN

3.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 2,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mw = 3 kN/m van 0 tot 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

4.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 2,5 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Over de hele lengte A–C werkt een gelijkmatig verdeelde belasting w. Vind de afstand x_c van A tot het momentennulpunt tussen de opleggingen (waar het buigend moment van teken wisselt).

L = 10,5 mw = 10 kN/m van 0 tot 10,5 mopleggingen bij x = 0 en x = 8 m

x_c = m

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 6 mhoogte = 2 mB ligt 2 m van Averticale belasting = 55 kN

F_AB = kN

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_BC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 5 mhoogte = 4 mB ligt 3 m van Averticale belasting = 60 kNhorizontale belasting = 25 kN ←

F_BC = kN

7.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de hoekverdraaiing θ_A van de balk bij oplegging A, in radialen.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 120 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment I_req dat aan deze eis voldoet.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (staal)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Hij moet 5 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 5 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Oplossingen

1.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_A = 42,92 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·3 + 55·3,5

R_B = 312,5/6 = 52,08 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 52,08 = 42,92 kN

Antwoord

R_A = 42,92 kN

2.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_A = 39,97 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.

Componenten van P

P_v = 45·sin 45° = 31,82 kN

P_h = 45·cos 45° = 31,82 kN

Reacties

ΣM_A = 0: R_B·10 = 31,82·9 + 35·4 → R_B = 42,64 kN

A_y = 31,82 + 35 − 42,64 = 24,18 kN

A_x = P_h = 31,82 kN

Resultante in A

R_A = √(31,82² + 24,18²) = 39,97 kN

Antwoord

R_A = 39,97 kN

3.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 5,625 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 3·4·2

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Snijd bij x = 2,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 6·2,5 − 3·2,5·1,25 = 5,625 kN·m

Antwoord

M_x = 5,625 kN·m

4.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: x_c = 7,219 m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk, inclusief de belasting op het overstek.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 10·10,5 = 105 kN, aangrijpend op x̄ = 5,25 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·10,5·5,25

R_B = 551,3/8 = 68,91 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 68,91 = 36,09 kN

Moment nul

Tussen de opleggingen is M(x) = R_A·x − w·x²/2. Afgezien van x = 0 is het nul bij x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·36,09/10 = 7,219 m

Antwoord

x_c = 7,219 m

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AB = −51,85 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 55·2 → C_y = 18,33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 18,33 = 36,67 kN

Knoop A

Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.

sin α = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −36,67/0,7071 = −51,85 kN

Antwoord

F_AB = −51,85 kN (druk)

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_BC = −17,89 kN

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·3 − 25·4 → C_y = 16 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 16 = 44 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −16/0,8944 = −17,89 kN

Antwoord

F_BC = −17,89 kN (druk)

7.Doorbuiging van de balk

Antwoord: θ_A = 0,0303 rad

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie). De hoekverdraaiing θ = dv/dx is de eerste integraal van M/(EI); in consistente eenheden komt die uit in radialen.

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Eindhoekverdraaiing

θ_A = wL³/(24EI) = 15·4000³/(24·1,32 × 10¹²) = 0,0303 rad

Antwoord

θ_A = 0,0303 rad

Dat is 1,736°.

8.Doorbuiging van de balk

Antwoord: I_req = 2,25 × 10⁶ mm⁴

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·2000⁴/(384·200000·5,556) = 2,25 × 10⁶ mm⁴

I_req = 2,25 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_req = 2,25 × 10⁶ mm⁴

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 37,85 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1000² = 37849 N = 37,85 kN

Antwoord

P_cr = 37,85 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 23,3 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·5000 = 10000 N

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·10000·1000²/(π³·70000))^(1/4) = 23,3 mm

Antwoord

d = 23,3 mm

Controle: de slankheid KL/r is 171,7, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis