Constructieleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Oplegreacties van balken

Evenwicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Moment
M = F·d

Methode

  1. Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
  2. Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
  3. Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
  4. Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
  2. Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
  3. Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
  4. Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Snedemethode
ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht
positief = trek, negatief = druk

Methode

  1. Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
  2. Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣFx = 0 en ΣFy = 0.
  3. Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
  4. Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden
δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten
δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast
δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting
δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie
δ = δ1 + δ2

Knik van kolommen

Eulerse kniklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor
K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning
σcr = Pcr/A
Slankheid
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Oplegreacties van balkenGemiddeld
w0​ = 4 kN/mABRB​ = ?6 m

De vrij opgelegde balk (scharnier in A, rol in B) draagt een lineair verlopende belasting die afloopt van 4 kN/m in A tot nul in B. Vind de verticale oplegreactie RB.

L = 6 mw0 = 4 kN/m
RB = kN
2.Oplegreacties van balkenMoeilijk
w = 8 kN/mP = 15 kNABRA​ = ?RB​2 m6 m

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RA.

L = 8 mP = 15 kN op 2 mw = 8 kN/m van 0 tot 2 m
RA = kN
3.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
P1​ = 40 kNP2​ = 60 kNAB3 m2 m5 m

De vrij opgelegde balk draagt twee puntlasten. Vind het maximale buigend moment Mmax in de balk.

L = 10 mP1 = 40 kN op 3 mP2 = 60 kN op 5 m
Mmax = kN·m
4.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
w = 4 kN/mP = 40 kNABdoorsnede5 m3 m

Vind het buigend moment Mx in de doorsnede x = 5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 8 mP = 40 kN op 5 mw = 4 kN/m van 0 tot 8 mx = 5 m
Mx = kN·m
5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld
ABBCACACB40 kN4 m1 m2 m

Gebruik de knopenmethode om de kracht FAC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 4 mhoogte = 2 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 40 kN
FAC = kN
6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk
ABBCACACB60 kN15 kN5 m1 m2 m

Gebruik de knopenmethode om de kracht FAC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 5 mhoogte = 2 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 60 kNhorizontale belasting = 15 kN ←
FAC = kN
7.Doorbuiging van de balkGemiddeld
P = 13 kNABδ0,5 m3,5 m

Een uitkragende ligger met lengte L is ingeklemd in A en draagt een puntlast P op een afstand a = 0,5 m vanaf A. Vind de doorbuiging δB aan het vrije uiteinde B.

P = 13 kNa = 0,5 mL = 4 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Doorbuiging van de balkMoeilijk
P = 20 kNABδ5 m3 m

Een vrij opgelegde balk draagt een puntlast P op b = 3 m vanaf oplegging B. Vind de doorbuiging δmid in het midden.

P = 20 kNb = 3 mL = 8 mE = 200 GPa (staal)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
9.Knik van kolommenGemiddeld
PL = 1,5 md = 50 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Knik van kolommenMoeilijk
PL = 6 md = 80 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σcr met de formule van Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm
σcr = MPa

3Oplossingen

1.Oplegreacties van balken

Antwoord: RB = 4 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.

Resultante van de driehoeksbelasting

W = ½·4·6 = 12 kN
x̄ = L/3 = 2 m

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣMA = 0: RB·6 = 12·2
RB = 4 kN
RA = 12 − 4 = 8 kN

Antwoord

RB = 4 kN
2.Oplegreacties van balken

Antwoord: RA = 25,25 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

w = 8 kN/mP = 15 kNABRA​RB​2 m6 m

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN, aangrijpend op x̄ = 1 m
ΣMA = 0: RB·8 = 15·2 + 8·2·1
RB = 46/8 = 5,75 kN
ΣFy = 0: RA = 31 − 5,75 = 25,25 kN

Antwoord

RA = 25,25 kN
3.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: Mmax = 210 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

ΣMA = 0: RB·10 = 40·3 + 60·5
RB = 420/10 = 42 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 42 = 58 kN

Moment onder elke last

Houd het deel links van elke last over.

onder P1: M = RA·3 = 58·3 = 174 kN·m
onder P2: M = RB·5 = 42·5 = 210 kN·m

Grootste waarde

Mmax = 210 kN·m (onder P2)

Antwoord

Mmax = 210 kN·m
4.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: Mx = 105 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, aangrijpend op x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 40·5 + 4·8·4
RB = 328/8 = 41 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 41 = 31 kN
w = 4 kN/mP = 40 kNABRA​ = 31RB​ = 41doorsnede5 m3 m

Snijd bij x = 5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = RA·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)
Mx = 31·5 − 4·5·2,5 = 105 kN·m

Antwoord

Mx = 105 kN·m
5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: FAC = 15 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣMA = 0: Cy·4 = 40·1 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 10 = 30 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −10/0,5547 = −18,03 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−18,03)·0,8321 = 15 kN

Antwoord

FAC = 15 kN (trek)
6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: FAC = 12 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

ABBCACACB60 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣMA = 0: Cy·5 = 60·1 − 15·2 → Cy = 6 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 6 = 54 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6/0,4472 = −13,42 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−13,42)·0,8944 = 12 kN

Antwoord

FAC = 12 kN (trek)
7.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δB = 24,62 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 13000 N, a = 500 mm, L = 4000 mm
EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Doorbuiging aan het vrije uiteinde

Doorbuiging bij de last plus de hoekverdraaiing bij de last maal de resterende lengte.

δP = Pa³/(3EI) = 2,141 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,006423 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 24,62 mm

Antwoord

δB = 24,62 mm
8.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δmid = 42,39 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 20000 N, b = 3000 mm, L = 8000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging in het midden

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 20000·3000·(3·8000² − 4·3000²)/(48·4,6 × 10¹²) = 42,39 mm

Antwoord

δmid = 42,39 mm
9.Knik van kolommen

Antwoord: Pcr = 23,55 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritieke belasting

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3000² = 23551 N = 23,55 kN

Antwoord

Pcr = 23,55 kN
10.Knik van kolommen

Antwoord: σcr = 30,71 MPa

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
KL/r = 3000/20 = 150

Kritieke spanning

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30,71 MPa

Antwoord

σcr = 30,71 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis