Zadania do ćwiczeń z AP Calculus: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda: zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

Równania różniczkowe

Wzrost/zanik wykładniczy: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Okres połowicznego rozpadu: k = ln 2 / t_½
Prawo stygnięcia Newtona: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Czynnik całkujący: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Ciągi i szeregi

Ciąg arytmetyczny: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Ciąg geometryczny: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Nieskończony szereg geometryczny: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Szereg p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Kryterium d’Alemberta: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Promień zbieżności: R = lim |c_k/c_k+1|
Wielomian Taylora: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Szereg Maclaurina: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Oszacowanie Lagrange’a: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metoda

Rozpoznaj typ: arytmetyczny (stała różnica), geometryczny (stały iloraz), szereg standardowy, szereg potęgowy lub wielomian Taylora.
Dla sum użyj Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) albo S = a₁/(1 − r), gdy |r| < 1, gdzie a₁ to pierwszy wyraz sumy.
Dla zbieżności: najpierw warunek konieczny, potem porównanie z Σ1/kᵖ lub szeregiem geometrycznym, a dla silni i potęg o wykładniku k użyj kryterium d’Alemberta lub Cauchy’ego.
Dla wielomianów Taylora wypisz f(a), f′(a), f″(a), …, podziel k-tą pochodną przez k! i oszacuj błąd przez M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (√(x² + 9x) − x).

f(x) = √(x² + 9x) − xx → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 (e^−2x − 1 + 2x)/x².

f(x) = (e^−2x − 1 + 2x)/x²x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = (2x + 3)⁴. Wyznacz f′(0).

f(x) = (2x + 3)⁴x = 0

f′(0) =

4.PochodneTrudny

Dana jest funkcja f(x) = x³ − 9x² + 24x + 6. Wyznacz współrzędną x x minimum lokalnego.

f(x) = x³ − 9x² + 24x + 6

x =

5.OptymalizacjaŚredni

Otwarte pudełko (bez pokrywki) o kwadratowej podstawie ma mieścić 32000 cm³. Zużyj jak najmniej materiału, czyli zminimalizuj sumę pola podstawy i czterech ścian bocznych. Wyznacz bok podstawy x.

V = 32000 cm³

x = cm

6.OptymalizacjaTrudny

Firma sprzedaje q sztuk tygodniowo. Cena, po której może je sprzedać, to p = 60 − 1q euro za sztukę, a koszt to C(q) = 200 + 15q euro. Wyznacz cenę p, która maksymalizuje zysk.

p = 60 − 1qC = 200 + 15q

p = €

7.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₂⁸ 5/x dx.

f(x) = 5/x[2, 8]

I =

8.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru ograniczonego przez y = 0,5x² i y = 4x.

y = 0,5x²y = 4x

A =

9.Równania różniczkoweŚredni

Odkuwkę stalową o temperaturze 340 °C zostawiono do ostygnięcia w warsztacie o temperaturze 27 °C. Po 42 min jej temperatura wynosi 65 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wyznacz stałą k w min⁻¹.

T₀ = 340 °CT_a = 27 °CT(42) = 65 °C

k = min⁻¹

10.Równania różniczkoweTrudny

Rozwiąż y″ + 4y′ + 13y = 0 z y(0) = 3 i y′(0) = 0 (start ze spoczynku). Wyznacz y(1); kąty w radianach.

y″ + 4y′ + 13y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(1) =

11.Ciągi i szeregiŚredni

Zastosuj kryterium d’Alemberta do Σ_k=1^∞ k!/kᵏ. Znajdź L = lim |a_k+1/a_k|.

a_k = k!/kᵏ

L =

12.Ciągi i szeregiTrudny

Znajdź współczynnik c₂ przy (x − 1)² w szeregu Taylora funkcji f(x) = ∛x w punkcie a = 1.

f(x) = ∛xa = 1k = 2

c₂ =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = 4,5

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pomnóż przez sprzężenie

f(x) = 9x/(√(x² + 9x) + x)

Podziel przez x

f(x) = 9/(√(1 + 9/x) + 1)

Niech x → ∞

L = 9/(1 + 1) = 4,5

Odpowiedź

L = 4,5

2.Granice

Odpowiedź: L = 2

Pierwsze zastosowanie

(−2·e^−2x + 2)/(2x) → 0/0

Drugie zastosowanie

4·e^−2x/2

Podstaw x = 0

L = 4·1/2 = 2

Odpowiedź

L = 2

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(0) = 216

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła łańcuchowa

f′(x) = 4·(2x + 3)³·2

Podstaw

f′(0) = 4·3³·2 = 216

Odpowiedź

f′(0) = 216

4.Pochodne

Odpowiedź: x = 4

Pochodna

f′(x) = 3x² − 18x + 24 = 3·(x² − 6x + 8)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = 2 lub x = 4

Które jest które

f″(x) = 6x − 18: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(2) = −6, f″(4) = 6

x = 4

Odpowiedź

x = 4

5.Optymalizacja

Odpowiedź: x = 40 cm

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Pole jako funkcja x

S(x) = x² + 128000/x

Przyrównaj pochodną do zera

S″(x) = 2 + 256000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x³ = 64000 → x = 40 cm

Wysokość i pole

h = 32000/40² = 20 cm

S = 40² + 128000/40 = 4800 cm²

Odpowiedź

x = 40 cm

Najlepsze otwarte pudełko ma wysokość równą połowie szerokości.

6.Optymalizacja

Odpowiedź: p = 37,5 €

Funkcja zysku

P(q) = (60 − 1q)·q − (200 + 15q) = −q² + 45q − 200

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −2 < 0, więc jest to maksimum.

q = 45/2 = 22,5

Cena i zysk

p = 60 − 1·22,5 = €37,5

P = 45·22,5 − 1·22,5² − 200 = €306,3

Odpowiedź

p = €37,5

7.Całki

Odpowiedź: I = 6,931

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Funkcja pierwotna

F(x) = 5·ln x

Podstaw granice

I = 5·(ln 8 − ln 2) = 5·ln 4 = 6,931

Odpowiedź

I = 6,931

8.Całki

Odpowiedź: A = 42,67

Punkty przecięcia

0,5x² = 4x → x = 0, x = 8

Całkuj górną minus dolną

A = [2x² − 0,1667x³]₀⁸ = 42,67

Odpowiedź

A = 42,67

9.Równania różniczkowe

Odpowiedź: k = 0,05021 min⁻¹

Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·e^kt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.

Stosunek różnic temperatur

e^−42k = 38/313

Wyznacz k

k = ln(313/38)/42 = 0,05021 min⁻¹

Odpowiedź

k = 0,05021 min⁻¹

10.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(1) = −0,3637

Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = e^rt: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·e^rt (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.

Pierwiastki zespolone

r = −2 ± 3j

Stałe

A = 3, B = 2·3/3 = 2

Oblicz

y(1) = e⁻²(3·cos 3 + 2·sin 3) = −0,3637

Odpowiedź

y(1) = −0,3637

11.Ciągi i szeregi

Odpowiedź: L = 0,3679

Zbieżność: jeśli wyrazy nie dążą do 0, szereg jest rozbieżny (warunek konieczny). Σ1/kᵖ jest zbieżny tylko dla p > 1, a Σrᵏ tylko dla |r| < 1. Porównaj szereg z jednym z tych, gdy jego wyrazy dla dużych k zachowują się jak one. Kryterium d’Alemberta: L = lim |a_k+1/a_k|; kryterium Cauchy’ego: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 oznacza zbieżność, L > 1 rozbieżność, L = 1 nie rozstrzyga. Szereg potęgowy Σc_k(x − x₀)ᵏ jest zbieżny dla |x − x₀| < R, gdzie R = lim |c_k/c_k+1|; szereg naprzemienny o wyrazach malejących do 0 jest zbieżny.

Iloraz kolejnych wyrazów

|a_k+1/a_k| = (k/(k + 1))ᵏ = (1 + 1/k)ᵏ → 1/e

Wniosek

L = 0,3679 < 1

Odpowiedź

L = 0,3679

L < 1, więc szereg jest zbieżny.

12.Ciągi i szeregi

Odpowiedź: c₂ = −0,1111

Wielomiany Taylora: w pobliżu x = a funkcję gładką przybliża Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; dla a = 0 jest to wielomian Maclaurina. Szeregi standardowe: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Oszacowanie reszty Lagrange’a: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, gdzie M to największa wartość |f⁽ⁿ⁺¹⁾| między a i x.

Pochodna f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = −0,2222·x^{1/3 − 2}

Współczynnik

c₂ = −0,2222·1^{1/3 − 2}/2! = −0,1111

c₂ = −0,1111

Odpowiedź

c₂ = −0,1111

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice