Zadania do ćwiczeń z AP Statistics: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 46, 46, 30, 54, 56, 37.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 8. Wyznacz wynik z z dla wyniku 73,2.

μ = 70σ = 8x = 73,2

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

Var(X) =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €3. Wygrywasz €9 z prawdopodobieństwem 0,15 i €30 z prawdopodobieństwem 0,02; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €3€9: p = 0,15€30: p = 0,02

E(G) = €

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 55,5 a 75 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 65σ = 10x₁ = 55,5x₂ = 75

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 75% wszystkich wartości (75. percentyl).

μ = 100σ = 15P = 75%

x = pkt

7.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

8.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 130?

n = 5ŷ = 130

x =

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 12 elementów ma średnią 110,5 i odchylenie standardowe s = 6,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 12x̄ = 110,5s = 6,590%t(11) = 1,796

dolna granica =

10.Przedziały ufnościTrudny

Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 9 poletek, średni plon 12,5 kg, odchylenie standardowe 9 kg. Grupa poletek 2: 13 poletek, średnia 4,5 kg, odchylenie standardowe 1 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 12,5s₁ = 9n₂ = 13x̄₂ = 4,5s₂ = 199%t(20) = 2,845

górna granica = kg

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 60 części ma średnią długość 88 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 6 mm. Linia 2: próba 50 części ma średnią 83 mm, znane odchylenie standardowe 10 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).

n₁ = 60x̄₁ = 88 mmσ₁ = 6 mmn₂ = 50x̄₂ = 83 mmσ₂ = 10 mm

z =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z dla H₀: μ = 200 przeciw H₁: μ > 200 przeprowadza się na poziomie α = 0,10 na próbie o liczebności 64; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 24. W rzeczywistości średnia wynosi 207,8. Wyznacz prawdopodobieństwo błędu II rodzaju β w procentach.

μ₀ = 200μ = 207,8σ = 24n = 64α = 0,10

β = %

13.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. W teście niezależności chi-kwadrat wyznacz liczebność oczekiwaną E dla komórki „pracownicy, samochód”.

suma wiersza = 74suma kolumny = 59N = 160

E =

14.Testy chi-kwadratTrudny

Test zgodności chi-kwadrat porównuje liczebności obserwowane w 4 kategoriach z w pełni określonymi oczekiwanymi udziałami (żadne parametry nie są estymowane z danych). Korzystając z tabeli, wyznacz wartość krytyczną χ²_crit na poziomie istotności α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 9,928

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 269/6 = 44,83

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 1,167² + 1,167² + (−14,83)² + 9,167² + 11,17² + (−7,833)² = 492,8

Odchylenie standardowe

s = √(492,8/5) = 9,928

Odpowiedź

s = 9,928

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 0,4

Standaryzuj

z = (73,2 − 70)/8 = 0,4

Odpowiedź

z = 0,4

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 0,6475

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Wariancja

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

Odpowiedź

Var(X) = 0,6475

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = −1,05 €

Wyniki netto

G: 6 (p = 0,15), 27 (p = 0,02), −3 (p = 0,83)

Wartość oczekiwana

E(G) = 6·0,15 + 27·0,02 − 3·0,83 = −1,05 €

Odpowiedź

E(G) = −1,05 €

Wartość ujemna oznacza, że średnio tracisz pieniądze.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,6703

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (55,5 − 65)/10 = −0,95

z₂ = (75 − 65)/10 = 1

Pole pomiędzy

P = Φ(1) − Φ(−0,95) = 0,8413 − 0,1711 = 0,6703

Odpowiedź

P = 0,6703

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 110,1 pkt

z dla percentyla

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Powrót do x

x = 100 + 0,6745·15 = 110,12 pkt

Odpowiedź

x = 110,12 pkt

7.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9141

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 241/5 = 48,2

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 38

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 172,8

Współczynnik korelacji

r = 38/√(10·172,8) = 0,9141

Odpowiedź

r = 0,9141

8.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 20,97

Średnie

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 683/5 = 136,6

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 256

Prosta regresji

b = 256/40 = 6,4

a = 136,6 − 6,4·22 = −4,2

ŷ = −4,2 + 6,4·x

Wyznacz x

x = (130 − (−4,2))/6,4 = 20,97

Odpowiedź

x = 20,97

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 107,1

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 11, t = 1,796

Margines błędu

E = 1,796·6,5/√12 = 3,37

Przedział

110,5 ± 3,37 → [107,1, 113,9]

Odpowiedź

dolna granica = 107,1

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 15,09 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Łączne odchylenie standardowe

s_p² = (8·9² + 12·1²)/20 = 33

s_p = 5,745

Margines błędu

E = 2,845·5,745·√(1/9 + 1/13) = 7,087

Przedział

8 ± 7,087 → [0,9131, 15,09]

Odpowiedź

górna granica = 15,09 kg

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = 3,101

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Błąd standardowy różnicy

SE = √(6²/60 + 10²/50) = √2,6 = 1,612

Statystyka testowa

z = (88 − 83)/1,612 = 3,101

Odpowiedź

z = 3,101

|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: β = 9,375 %

Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Krytyczna średnia z próby

SE = 24/√64 = 3

x̄_c = 200 + 1,282·3 = 203,8

z przy prawdziwej średniej

z = (203,8 − 207,8)/3 = −1,318

Błąd II rodzaju

moc = P(Z > −1,318) = 90,62%

β = 100% − 90,62% = 9,375%

Odpowiedź

β = 9,375%

13.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: E = 27,29

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebność oczekiwana

E = 74·59/160 = 27,29

Odpowiedź

E = 27,29

14.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ²_crit = 11,35

Stopnie swobody

df = 4 − 1 = 3

Tabela

χ²_crit(df = 3, α = 0,01) = 11,345

Odpowiedź

χ²_crit = 11,345

Odrzuć H₀, jeśli obliczone χ² jest większe od tej wartości.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice