Zadania do ćwiczeń z AP Statistics: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 32, 14, 40, 29, 45.

n = 5

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 5. Wyznacz wynik z z dla wyniku 60.

μ = 50σ = 5x = 60

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Uczciwą kostką rzucamy 3 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?

n = 3

P =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 5 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,4. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 5p = 0,4

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,0735. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,0735

z =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 95% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 100 pktσ = 15 pkt95%

x = pkt

7.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6Σx = 48Σy = 564Σx² = 454Σy² = 56054Σxy = 4972

r =

8.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 60?

n = 6ŷ = 60

x =

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 8 elementów ma średnią 115,5 i odchylenie standardowe s = 7,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 8x̄ = 115,5s = 7,595%t(7) = 2,365

górna granica =

10.Przedziały ufnościTrudny

Średnice 11 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 8,2 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: górna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 10 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 3,247, a 2,5 % powyżej 20,483.

n = 11s = 8,2 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 9 uczniów, średni wynik 57, odchylenie standardowe 10,5. Grupa 2: 5 uczniów, średni wynik 40,8, odchylenie standardowe 6,5. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).

n₁ = 9x̄₁ = 57s₁ = 10,5n₂ = 5x̄₂ = 40,8s₂ = 6,5

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 90 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5? Odchylenie standardowe wynosi 8. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 8E = 1,590%

n =

13.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. W teście niezależności chi-kwadrat wyznacz liczebność oczekiwaną E dla komórki „zmiana dzienna, bez wady”.

suma wiersza = 59suma kolumny = 40N = 132

E =

14.Testy chi-kwadratTrudny

Test zgodności chi-kwadrat sprawdza, czy liczebności w 6 kategoriach mają rozkład Poissona, którego średnią estymuje się z tych samych danych. Korzystając z tabeli, wyznacz wartość krytyczną χ²_crit na poziomie istotności α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 11,9

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 160/5 = 32

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 0² + (−18)² + 8² + (−3)² + 13² = 566

Odchylenie standardowe

s = √(566/4) = 11,9

Odpowiedź

s = 11,9

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 2

Standaryzuj

z = (60 − 50)/5 = 2

Odpowiedź

z = 2

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,4213

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zdarzenie przeciwne

P(brak szóstki) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Odpowiedź

P = 0,4213

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,337

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,6⁵ = 0,07776

P(X = 1) = 5·0,4·0,6⁴ = 0,2592

Dodaj

P = 0,07776 + 0,2592 = 0,337

Odpowiedź

P = 0,337

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 1,45

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = 1 − 0,0735 = 0,9265

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,9265 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 1,45

Odpowiedź

z = 1,45

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 75,4 pkt

Pole po lewej

Φ(z) = 0,05

z z tablicy

z ≈ −1,64

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 100 − 1,64·15 = 75,4 pkt

Odpowiedź

x = 75,4 pkt

7.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9975

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 4972 − 48·564/6 = 460

S_xx = 454 − 48²/6 = 70

S_yy = 56054 − 564²/6 = 3038

Współczynnik korelacji

r = 460/√(70·3038) = 0,9975

Odpowiedź

r = 0,9975

8.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 4,038

Średnie

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 468/6 = 78

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 318

Prosta regresji

b = 318/70 = 4,543

a = 78 − 4,543·8 = 41,66

ŷ = 41,66 + 4,543·x

Wyznacz x

x = (60 − 41,66)/4,543 = 4,038

Odpowiedź

x = 4,038

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 121,8

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 7, t = 2,365

Margines błędu

E = 2,365·7,5/√8 = 6,271

Przedział

115,5 ± 6,271 → [109,2, 121,8]

Odpowiedź

górna granica = 121,8

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: σ = 14,39 µm

Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.

Suma kwadratów

(n − 1)s² = 10·8,2² = 672,4

Granice dla σ²

672,4/20,483 = 32,83

672,4/3,247 = 207,1

Granica dla σ

σ = √207,1 = 14,39 µm

Odpowiedź

σ = 14,39 µm

Przedział 95 % dla σ: [5,73, 14,39] µm.

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 3,103

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Wariancja łączna

s_p² = (8·10,5² + 4·6,5²)/12 = 87,58

s_p = 9,359

Błąd standardowy

SE = 9,359·√(1/9 + 1/5) = 5,22

Statystyka testowa

t = (57 − 40,8)/5,22 = 3,103

Odpowiedź

t = 3,103

Przy df = 12 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,179; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 77

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Wyznacz n

n = (1,645·8/1,5)² = 76,97

Zaokrąglij w górę

n = 77

Odpowiedź

n = 77

13.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: E = 17,88

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebność oczekiwana

E = 59·40/132 = 17,88

Odpowiedź

E = 17,88

14.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ²_crit = 9,488

Stopnie swobody

df = 6 − 1 − 1 = 4

Tabela

χ²_crit(df = 4, α = 0,05) = 9,488

Odpowiedź

χ²_crit = 9,488

Odrzuć H₀, jeśli obliczone χ² jest większe od tej wartości.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice